量化机器学习系列分享（二）模型评估与特征选择
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1. 模型评估
1.1 偏差与方差
上次分享我们提到过，模型的好坏评价标准，是模型在测试集上的预测是否准确，好比一个学生在期末考试当中拿高分才是学的好
模型在测试集上的预测误差（Error），可以分为三种来源
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偏差（Bias）：高偏差的模型表现为：
对于一个预测样本，不仅预测不准，而且如果模型再训练一遍，还是同样地预测不准
好比我们期待一个同学期末考90分，但是他只考了50分，如果再给他一次机会，重学一遍再参加考试，他还是考了50分，距离90分一直很远
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方差（Variance）：高方差的模型表现为：
对于一个预测样本，如果一个模型再训练一遍，会取得不一样的预测结果
好比一个同学参加期末考试考了80分，再学一遍再考一次考了40分，再学一遍再考一次考了100分，每次都不一样
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不可减少误差（Irreducible Error）：
就算模型没有任何偏差和方差，也不可能做到百分之百的准确预测，因为样本数据本身是存在不确定性的，总会有数据是你模型没见过的
比方说我们为了期末考试已经做了充分的准备了，但是如果出题老师出了一道超纲题目，我们还是做不对
这部分误差不是模型所能解决的，所以不是机器学习钻研的领域
对于预测误差这两种来源的解读，其实还是停留在理论上的，因为模型使用新的训练数据再训练一遍并不是总可行的
1.2 欠拟合与过拟合
我们评价模型的一个常用指标就是模型的复杂度，可以简单地理解为数据从进入模型，到输出结果，当中进行的运算是多还是少
欠拟合是一个过于简单的模型常常表现出来的问题，指的是模型在训练集上压根就没学到东西
- 欠拟合的模型通常在训练集上表现差，在测试集上表现也差
- 欠拟合的模型通常有高偏差，低方差
- 就好比一个不好好学习的学生，平时学习就差，到了考试的时候考的也差，考的差就是高偏差的表现，而且不论他考多少次，成绩都是稳定地低，只要能稳定，就是低方差的表现
过拟合是一个过于复杂的模型常常表现出来的问题，指的是模型在训练集上学到的东西太死板了
- 过拟合的模型通常在训练集上表现好，但是在测试集上表现差
- 过拟合的模型通常有低偏差，高方差
- 就好比一个学生在平时学习的时候学的死记硬背，到了考试的时候如果遇到考原话的知识点就考高分，如果题目出的灵活一点就考低分，忽高忽低就是高方差的表现，但是总的来说水平在平均水平，在平均水平就是低偏差的表现
下图简单展示了模型复杂度与欠拟合和过拟合的关系
从图中我们可以看到，模型越简单，就越可能欠拟合，模型越复杂，就越可能过拟合
- 模型总的误差与模型复杂度之间存在一个抛物线的关系
- 所以，存在一个最优的模型复杂度，在此复杂度下，模型的总误差是最小的
- 因此，我们调整模型的任务就是找到这个最优的模型复杂度
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2. 特征选择
特征选择是监督学习的一个重要任务，当我们的数据集中有很多的特征时，我们通常并不想把所有的特征都拿来预测标签，我们只选择一部分特征来预测标签
这么做的原因包括：
- 有些特征和标签是无关的，用它们来预测标签是没有效果的
- 有些多个特征中包含的信息是重复的，表现为多个特征之间高度相关，那么这多个特征中其实只要保留一个特征就够了
- 太多的特征容易导致模型复杂性增加，从而导致过拟合
这一节我们主要来介绍一些特征选择的思路
2.1 特征子集选择
特征子集选择，其实就是不同的特征组合，一个一个地试
例如我们想在特征A，B，C三个特征中，选出最合适的组合，我们可以在以下选项中，一个一个地试
- 只有A
- 只有B
- 只有C
- A，B
- A，C
- B，C
- A，B，C
2.1.1 特征组合的评价方式
要想在所有组合中选出最好的，我们需要对每种组合进行评分，有以下两种思路：
- 使用该组合的特征，与标签进行建模，先使用训练集的数据训练模型，再使用测试集的数据测试效果，如果测试集上的预测准确度越高，说明该组合越好
- 模型评估指标，不同的模型有不同的评价指标，这些指标通常只需要训练集的数据就可以计算出来，不需要测试集，比方说线性回归的评估指标有：
- AIC (Akaike Information Criterion)：综合评估模型在训练集上的表现与模型的复杂程度，越低模型越好
- BIC (Bayesian Information Criterion)：综合评估模型在训练集上的表现与模型的复杂程度，越低模型越好
2.1.2 特征的子集选择的方式
特征子集选择这种方式的缺点是很明显的，就是它的计算复杂度是成指数上升的，如果我们有10个特征，我们就要尝试2^10-1=1023种组合
因此我们需要一种节约成本的方式，这种方式叫做贪婪搜索（Greedy Searching）
- 贪婪搜索的优点就是节约成本
- 贪婪搜索的缺点就是有可能找不到全局最优的
贪婪搜索的方式也可以分为三种
- 前向选择
- 从空模型出发，一个特征一个特征地加入模型，直到模型表现没有提高为止
- 例如我们有A，B，C，D四个特征
- 首先评估单个特征，我们在四个选项中：只有A，只有B，只有C，只有D，比方说我们发现只有A是最好的，那我们就选A
- 选A之后，我们再在三个选项中：AB，AC，AD，选最好的，比方说我们发现AC是三个中最好的，且AC比只有A要好，那么我们就选AC
- 选AC之后，我们再在两个选项中：ACB，ACD中，选最好的，比方说我们发现ACB是两个中最好的，但是ACB并没有比AC好，那我们就还是得选AC
- 这样一来选择就停止了，最终选择的特征组合是A
- 后向选择
- 从全模型出发，一个特征一个特征地从模型中删去，直到模型表现没有提高为止
- 例如我们有A，B，C，D四个特征
- 首先我们把ABCD四个特征全放入模型，接着我们考虑在此基础上，考虑去掉一个特征的选项：去掉A（留下BCD），去掉B（留下ACD），去掉C（留下ABD），去掉D（留下ABC），比方说我们发现去掉A（留下BCD）之后表现最好，并且比起初的ABCD要好，那么我们的模型就变成了BCD
- 接着从BCD出发，我们接着考虑去掉一个特征的选项：去掉B（留下CD），去掉C（留下BD），去掉D（留下BC），比方说我们发现去掉D（留下BC）之后表现最好，并且比起初的BCD要好，那么我们的模型就变成了BC
- 接着从BC出发，我们接着考虑去掉一个特征的选项：去掉B（留下C），去掉C（留下B），比方说我们发现去掉C（留下B）之后表现最好，但是却不如BC好，那么我们还是选择BC
- 这样一来选择就停止了，最终选择的特征组合是BC
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- 双向选择
- 从任意模型出发，同时考虑加一个特征和删一个特征，直到模型表现没有提高为止
- 例如我们有A，B，C，D四个特征
- 我们从AB出发，同时考虑加一个和删一个，那就是在以下选项中选择：ABC，ABD，A，B，比方说，这四个选项中ABD表现最好，且相对于初始的AB有提高，那我们就选择ABD
- 接着从ABD出发，同时考虑加一个和删一个，那就是在以下选项中选择：ABCD，AB，AD，BD，比方说这四个选项中AD表现最好，但是却没有初始的ABD好，那我们就还是选择ABD
- 这样一来选择就停止了，最终选择的特征组合是ABD
以下我们来看一下特征子集选择的代码实现