“学海拾珠”系列之八十一：关于资产分散化的新思考
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报告摘要
主要观点
本篇是“学海拾珠”系列第八十一篇，本期推荐的海外文献证实了投资组合在上行期间和下行期间的资产相关性是非对称的，且分散化对于投资组合而言并不总是有利的。在估计这种非对称的相关性时，应当以组合中的主力资产回报大于或小于某一阈值为条件进行计算。投资者可以利用这种非对称的相关性来调整资产配置。回到国内市场，资产配置一直以来都是投资者非常关心的问题，本文对于资产分散化在上行和下行期间的非对称性的分析于我们而言具有较好的借鉴意义。
各个资产类别之间的相关性在主力资产上行与下行期间是非对称的
Markowitz提出的均值-方差模型中认为各个资产之间的相关性在上行与下行时是对称的，且通过资产配置分散化对收益总是有利的。本文提出资产间的相关性是非对称的，并且资产分散化只有在投资组合的主力资产表现下行时才是有益的，在主力资产业绩上行时期，需要组合资产集中化才能扩大收益。投资者需要更有效地辨别各个资产间的相关性，才能利用好资产分散化。
使用单一资产作为条件计算一对资产的下行相关性
作者指出如果使用两个资产的回报都小于某一阈值的样本来估计一对资产的下行相关性时，会忽略掉下行时资产带来的实质上的分散化效果。因此在计算下行相关性时，应该只以组合中主力资产的回报小于某一阈值作为条件。作者使用了六种大类资产，实证了这种单一资产为条件的估计方法相比同时使用两个资产的回报为条件计算的下行相关性更符合实际的市场情况。同时作者提出可以使用最大化含拐点的效用函数的方法，以在投资组合中利用相关性的不对称性。
风险提示
本文结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
简介
自从1952年Harry Markowitz发表了他具有里程碑意义的文章“投资组合选择”后，业界纷纷开始使用相关系数来度量两种资产相互分散风险的程度。Markowitz (1952) 展示了如何在给定预期收益、标准差和其组成资产的相关性的情况下，构建最优投资组合，并且在文章中正式确定了分散化的作用。在它被引入近 70 年后，均值-方差模型被证明稳健性相当好。然而值得思考的是，这个模型包含了两个关于分散化的假设：第一，由于模型依赖于单个参数来近似每对资产共同变化时的情况，均值方差优化假设相关性在上行和下行上是对称的；第二，该模型假设在上行和下行方面都是需要分散化的。第一个假设有时是正确的，但第二个假设往往并不正确。
当投资组合的主要增长来源（通常是国内股票）表现不佳时，分散化对投资者最有帮助。投资者可以从其他资产的回报中抵消这种糟糕表现的资产带来的影响。当回报增长来源表现良好时，他们更喜欢将投资组合集中化，这与分散化相反。理想情况下，应该使用一种在国内股票表现良好时与其收益呈正相关，而在表现不佳时呈负相关的资产，用来作为国内股票补充的资产。简而言之，投资者寻求下行时投资组合的分散化和上行投资组合的集中化。马克吐温和罗伯特弗罗斯特都有一句格言，他们将银行家定义为“晴天借伞，雨天收伞”的人。资产分散化的作用就与这样的银行家类似，只需要在下行的时候分散风险，而在上行的时候不需要去分散收益。
Page 和 Panariello (2018)、Page (2020) 以及许多其他学者认为，尽管已发表大量研究，但许多投资者仍然没有充分认识到相关不对称对投资组合效率的影响，其中更重要的是，对损失敞口的影响。在左尾事件中，分散化的投资组合可能比更集中的投资组合更容易遭受损失。Leibowitz 和 Bova (2009) 表明，在 2008 年全球金融危机期间，美国股票、美国债券、发达国家市场股票、新兴市场股票和房地产投资信托 (REIT) 的分散化投资组合的股票贝塔系数从 0.65 上升到 0.95 ，并且该投资组合的表现出乎意料地比简单的配置60%美国股票和40%公司债的投资组合低 9%。
对尾部依赖性的研究（崩溃为什么在不同市场会同时发生）证实了这些发现。例如，Garcia-Feijóo、Jensen 和 Johnson（2012）表明，当美国股票回报率处于最低5%时，非美国股票、商品和房地产投资信托基金也会出现显著的负回报，超出了预期。Hartmann、Straetmans 和 de Vries（2010）表明，货币共同崩溃的频率高于双变量正态分布所预测的频率。同样，Hartmann、Straetmans 和 de Vries（2004）估计，G-5 国家的股票市场同时发生崩盘的可能性是债券市场的两倍。Van Oordt 和 Zhou (2012) 将成对分析扩展到多个市场的联合尾部依赖性，也得出了类似的结论。然而，这些研究忽略了左右尾部之间的不对称性。他们要么专注于左尾，要么使用对称的尾依赖度量，例如联合 t 分布。
先前的研究表明，相关不对称性与风险机制的概念密切相关。金融市场倾向于在低波动状态和恐慌驱动的高波动状态之间波动。事实上，Ang 和 Bekaert (2015) 将体制更迭（regime shift）的概念与上升期的左尾相关性直接联系起来。但是是什么导致了体制更迭呢？一部分原因可能是宏观经济基本面本身表现出体制更迭，正如通货膨胀和增长数据所记录的那样。
在正常市场中，基本面的差异推动了风险资产的分散化。然而，在恐慌期间，投资者通常会无视基本面的差异如何，而抛售风险。例如，Huang、Rossi 和 Wang（2015）表明，情绪是推动股票和信用利差回报的共同因素——超越了违约风险、流动性和宏观变量的影响——并从表明股票到信贷市场情绪经常溢出。
心理学领域的相关研究表明，人们本能的对坏消息的反应比对好消息的反应更强烈。恐惧比乐观更具传染性。Baumeister 等人在一篇题为“坏大于好”的文章中解释说，“人们对于坏消息比好消息更加敏感……从我们的角度来看，坏信息比好的信息更强大是人类为了适应生存而进化出的特征。”
然而，前人的研究中对度量相关不对称性的正确方法存在分歧。正如作者将进一步解释的那样，一些研究通过同时以两种资产的回报为条件来估计下行相关性。其他人以单一资产的回报为条件。在本文中，作者展示了前一种方法存在缺陷的原因，并认为后一种方法会导致更有效的相关不对称度量。
在本文中，作者首先回顾了相关性的数学原理，并展示了如何从数据划分带来的虚假的相关性变化中，区分出真正的资产相关性的不对称性。另外，作者强调了几个先前研究测量相关性的不对称性的方法中的一个根本缺陷：他们估计了两种资产均表现不佳时的子样本的下行相关性，但是却忽略了成功分散化的实例（即一种资产的收益抵消了另一种资产的损失的时期）。相反，本文建议投资者衡量更准确的指标：当组合中提供主要增长来源的资产表现不佳时，其被分散化的程度。这种方法得出了不同的结论，特别是对于相关性较低的资产组合。为了比较这两种方法，作者对六种主要资产类别的相关性的不对称性进行了实证研究。
相关性的数学原理
市场参与者经常说，当市场动荡时，“相关性趋于一致”，但这种差异并不一定证明二元收益分布是非正态的，或者来自多个市场的投资组合收益有很强的相关性。即使底层分布是正态的，子样本相关性也会随着我们如何划分样本而自然变化。因此，必须考虑这些影响以正确检测相关性的非对称性。
Longin 和 Solnik (2001) 引入了超额相关性的概念，他们将其定义为当两种资产的回报高于或低于给定阈值时两种资产之间的相关性。例如，他们可能会从两个资产类别均遭受 10% 或更多损失的回报子样本中估计美国和外国股票的超额相关性。Chua、Kritzman 和 Page (2009) 将相同的方法应用于各种资产类别、国家股票市场、对冲基金风格和固定收益产品的相关性估计中。他们发现了对投资者不利的相关非对称性的普遍证据。然而，这种超额相关性的模型存在一个基本缺陷：它忽略了分散化的重要实例，即它忽略了在前面的例子中美国股票表现不佳但外国股票表现良好的情况。
图表 1简单说明了这一点。作者使用蒙特卡罗模拟为资产 X 和 Y 生成 500 个回报点，这些回报点服从二元正态分布，均值等于 0，标准差等于 20%，相关性为 0.50。这里假设，资产 X 是投资组合中的主要增长来源，选择资产 Y 来对其分散化。当资产 X 表现良好时，希望资产 Y 也一样表现良好。这些结果反映了理想情况下的上行集中性，并与图表 1的右上象限相关。另一方面，当资产 X 遭受损失时，希望资产 Y 与资产 X 脱钩以抵消这些损失。这些想法反映了资产 Y 的理想中的下行脱钩，并与图表 1的左上象限相关，这时候是资产 Y 成功使资产 X 分散的情况。最后，图表 1的左下象限显示了资产 X 表现不佳而资产 Y 未能达到分散化目的时，这也是投资者最不愿意遇到的情况。
从图中可以明显看出，投资者必须考虑分布的整个左侧，以正确衡量资产 Y 相对于资产 X 的分散化能力。仅关注左下象限不会提供信息，因为这些是分散化已经失败的例子。然而这是其他几项研究衡量下行相关性的方式。
图表 2展示了资产为图表 1中的二元分布，取损失阈值为0%时的一对资产相关系数估计使用的数据。左侧面板显示了两个资产的回报均低于阈值的子样本。作者认为投资者应该在资产 X 的回报低于特定阈值，而不管资产 Y 的回报如何的回报子样本中估计下行相关性，如图表 2右侧面板中显示的回报子样本。这种方法引入了额外的复杂度，因为我们现在能够估计每对资产的两个下行相关系数，每一个都取决于两项资产的回报。这使我们必须潜在考虑的相关系数的数量增加了一倍。然而，投资者也可以将注意力仅集中在投资组合的几个主要增长来源的资产上，这些资产在投资组合风险中贡献最大份额，计算下行相关性时只考虑以这些资产的回报为条件也是合理的。
资产X 和 Y 之间的上行和下行相关性取决于资产 X 的回报，由公式（1）给出。
其中ρ 是上行或下行相关性，x 和 y 是每种资产的收益，θ 是应用于资产 X 收益的阈值。在实践中，以高于或低于资产X均值的标准差为单位表示 θ 。因此，如果将 θ 设置为 +1.0，我们将评估公式（1）的上式，并估计资产 X 的回报高于其平均值一个标准差或更多的所有观察值的相关性。如果我们将 θ 设置为 -1.5，将评估公式（1）的下式，该方程侧重于资产 X 比其平均值低 1.5 个标准差或更多的回报子样本。在 θ 等于 0 的独特情况下，评估两个方程以估计上行相关性（其中回报高于均值）和下行相关性（其中回报低于均值）。因为二元正态分布是对称的，所以在这种情况下，对于阈值具有相同绝对值的任何情况，预期的上行和下行相关性将是相同的。
给定公式（1）并将 θ 设置为零，之前定义的双变量分布的上行和下行相关性为 0.33，而完整样本的相关性为 0.50。如果我们修改公式（1）以将阈值同时应用于两种资产的回报，则上行和下行相关性为0.27。如果这些估计来自真实数据而不是模拟数据，可能会得出这样的结论，即这对资产的分散化程度在极端情况下会增加。但是，这种解释是不正确的。这些差异是条件相关性的数学性质上的产物，并不表明尾部中两种资产之间的关系有任何变化。图表3显示了预期的上行和下行相关性如何作为阈值 (θ) 的函数而变化。
图表3显示，条件相关性随着阈值绝对值的增加而降低。在正或负 20% 的阈值下，对应于一个标准差，如果以资产 X 为条件，则上行和下行相关性为0.25。如果同时以两种资产为条件，则为 0.18。图表3还显示，在所有其他条件相同的情况下，我们应该预期，当以一项资产为条件时，构建的相关性比同时以两种资产为条件时更高。当根据经验数据估计上行和下行相关性时，我们必须将它们与这些预期值进行比较。只有当我们观察到经验和预期相关曲线之间的实质性差异时，我们才能得出结论，观察到的相关不对称性是非正态双变量分布或多重分布的现象。在这些情况下，投资者在构建投资组合或估计下行风险敞口时应考虑明确调整相关不对称性。
图表 4显示了基于 1976 年 1 月至 2019 年 12 月的月回报率的美国股票和外国发达股票的经验相关性概况。它还展示了相应二元正态分布的预期相关性曲线。这两个资产类别的全样本相关性为 0.66。由于这两种资产类别具有不同的波动率，通过从每个月的观察值中减去平均值并将这个数量除以标准差来标准化每个回报序列。图表 4，面板 A 显示了将阈值应用于两种资产的相关性概况。图表 4，面板 B 显示了仅以美国股票为条件的结果。
可以从图表 4中得出两个结论。首先，在这两种情况下，经验下行相关性都高于双变量正态分布模型所模拟出的下行相关性。在右尾，观察到相反的情况。这种相关性代表下行风险集中化和上行风险分散化，因此对投资者来说是不可取的。其次，作者观察到这两个相关性特征非常相似：以一种资产或两种资产的回报为条件似乎没有太大区别。这是因为这两种资产在开始时相关性相对较高。从结果上看，大多数观察结果都位于左下象限和右上象限，因此当作者施加双重条件时，保留了其中的大部分观察值。
图表 5展示了美国股票和美国公司债券的类似结果，它们的全样本相关性相对较低。在这种情况下，我们观察到这两种方法会得出完全不同的结论。正确的方法，如图表 5，面板B所示，表明美国公司债券提供了一些理想的下行脱钩。面板 A 中显示的错误方法表明，这两种资产类别的下行相关性高于正常水平。
作者提出这个例子是因为它强调了单一和双重条件方法如何导致不同的结论，而不是暗示美国公司债券赋予美国股票最理想的相关不对称性。公司债券回报有两个组成部分：久期部分和信用部分。前者倾向于分散股票敞口，而后者则不然。在某些时期，久期成分超过了信贷成分，使公司债券在下跌时与股票脱钩，这类似于图表 1左上象限的结果。然而，双重调节方法却无法反映出这些特点。因此，双重调节在设计上会产生更高的下行相关性估计，这从图表 5，面板 A 中可以明显看出。如图表 5，面板 B 所示，使用单一资产为条件的方法捕获了分布的整个左侧，因此产生了较低的下行相关性估计。
在下一节中，作者扩展了对相关不对称性的分析，对六大资产类别进行了全面的实证研究。为了简洁地做到这一点，作者引入了一个汇总指标来捕捉每一对资产的相关不对称程度。作者选择的指标是下行市场阈值之间的经验和预期下行相关性之间的平均差异，减去上行市场的类似数量。作者根据 Chua、Kritzman 和 Page (2009) 提出的公式（2）计算了上行和下行市场的这些平均差异。
和
分别是上涨和下跌市场的平均差值；
是阈值
处的经验上行或下行相关性;
是双变量正态分布的相应预期上行或下行相关性。对于上行和下行市场，作者以 0.1 标准差的等间距间隔迭代 n 个阈值。当超过阈值的观测值少于 30 个时，就停止迭代。然后，作者采用公式（2）
给出的上行和下行平均值之间的差异来得出相关不对称性的汇总指标。该指标若为正值则表示存在不良相关性（净下行集中化或上行分散化）。该指标若为负值表示理想的组合相关性情况（下行脱钩或上行集中）。对于美国和发达国家市场股票，该平均差异等于0.32，反映了不良的相关性。
03大类资产之间的相关不对称性
研究表明，与a上行市场相比，大多数资产在下行市场中提供的分散化效果较低，包括其他国家股票、全球行业、个股、对冲基金和国际债券。股票和债券之间的相关性通常是这种规律的一个例外。Kritzman、Lowry 和 Van Royen (2001) 发现，在市场动荡期间，国家内部的股票-债券相关性会降低。在本节中，本文在此发现的基础上分析了图表 6中显示的六大资产类别中普遍存在的相关不对称性。图表 6显示了每个资产类别的全样本回报和标准差，图表 7显示了完整的样本相关系数矩阵。
为了衡量每对资产类别的相关不对称性，我们在图表中展示了公式（2）给出的汇总指标。 面板A 根据双重条件的方法展示了此汇总指标。因为阈值同时作用于两种资产，所以这个矩阵是对称的。面板 B 按照单一条件方法展示了每一对资产类别的汇总指标。在这种情况下，矩阵是不对称的。当以行资产的回报为条件时，此面板中显示的值捕获了行资产和列资产之间的相关不对称性。面板组 C 展示了面板 A 和面板 B 之间的差异。
本文从图表8中得出如下结论：
- 当美国股票作为条件资产与其他资产配对时，面板 B 显示新兴市场股票、外国发达股票和大宗商品是不太理想的补充。它们表现出对投资者不利的相关不对称性。另一方面，国债和公司债券表现出良好的相关性。
- 当国债作为条件资产与其他资产配对时，面板 B 显示，公司债券提供最有利的相关性，而商品提供的有效相关性最少。
- 国债是唯一一种普遍有利的补充资产。面板 B 显示，当以任何其他资产类别的回报为条件时，国债均带来的有利的不对称相关性，尽管对商品的益处可以忽略不计。然而，当作者在 2021 年 2 月撰写本文时，利率接近于零。因此，此时不能指望美国国债在股票抛售期间会像过去那样反弹。
- 由于忽略了左上象限的观察结果，面板 A 中采用的联合调节方法低估了国债和公司债券对三种股权资产类别的有利相关性。并且它还夸大了商品赋予固定收益资产类别的分散化收益。
非对称相关性对投资组合构建的影响
在证明相关性不对称性在主要资产类别中普遍存在之后，本文现在转向探讨投资者应该如何应对的问题。有两种方法可以解释投资组合管理中的相关不对称性。
- 投资者可以动态地重新分配他们的投资组合，以应对市场形势变化，增加他们在预计情况恶化时提供下行分散化的避险资产的敞口。
- 投资者在设定资产权重时更加重视下行相关性，从而构建更能抵御低迷市场状况的静态投资组合。
采用第一种方法的投资者必须监控市场状况并预测哪些相关性最有可能在未来盛行。另一方面，采用第二种方法的投资者寻求的是准备而不是预测。他们建立的投资组合，就像在海边设计一所房子一样：用于在温暖的条件下进行日常使用，但如果有人来袭，则足以抵御飓风。这种方法要求设计师在天气晴朗的情况下在抵御风暴和实用性之间取得最佳平衡——没有窗户的混凝土掩体将提供最大的保护，但这种设计在阳光明媚的日子不会特别吸引人。作者建议投资者在构建投资组合时达到类似的平衡。
投资者可以通过多种方式构建考虑相关不对称的投资组合。一种方法是仅使用下行时期的样本的而不是完整的样本相关性来执行均值方差优化。然而，这种方法只有在极端条件下才是最佳的。另一种方法是将全样本相关性与下行相关性混合，但这种方法如何选择合成的比例将至关重要。此外，在具有两种以上资产的投资组合中，这两种方法都要求投资者选择资产的一个子集，作为计算相关性的条件资产。
相反，作者建议投资者使用全局优化来考虑不对称相关性以及分散化收益分布的其他特性。由 Cremers、Kritzman 和 Page (2005) 提出的全面优化确定了任何回报分布和任何投资者偏好下的最佳投资组合。如果收益分布是椭圆的并且投资者的偏好可以用均值和方差来描述，则均值方差优化会产生样本内解的近似值；而全局优化会产生给定收益样本的真正最优投资组合。全局优化不是依靠均值和协方差等参数来近似分布，而是依靠数值搜索算法来求解使给定效用函数精确最大化的资产配置权重。为了演示这种技术如何解释相关不对称性，作者采用了一个拐点效用函数，拐点位于 25% 的损失处。该效用函数由公式（3）给出。
其中 是一个预期效用函数，R是投资组合的回报，k表示拐点位置（在此处被设置为-25%），然后
表示拐点下方线性效用函数的斜率。有了这个效用函数，当回报低于拐点时，投资者的满意度就会急剧下降。当回报高于拐点时，投资者满意度符合对数财富效用函数。该效用函数旨在表达对拐点以下损失的强烈厌恶。
为了确定全面优化是否有效地解决了相关性不对称问题，作者需要一种方法来衡量投资组合中的相关性不对称程度，以及它是有利的还是不利的品种。为此，我们在公式 4 中定义度量 ：
其中n是资产的数目， 是组合中资产的权重，
是组合中资产的权重，
是由公式（2）给出的以i为条件资产，资产i和资产j的相关非对称性的度量。较大的值表明该投资组合具有过度的下行相关性，这是投资者不愿意碰到的情况。当然，投资者不会通过减少相关不对称性来获得效用；他们通过资产的增加来获得效用。全面优化不会直接最大化有利的相关不对称性，但正如作者将证明的那样，通过将上行集中和下行分散化的资产配对，可以很好地发挥效用。均值方差优化不能解释这些类型的相关不对称性，因为它隐含假设相关性是对称的。
图表9显示了一个全局最优得到的投资组合和一个相应的均值方差最优投资组合，其预期回报率相同，均为7%。它还显示了每个投资组合的不良相关不对称程度， 以及由拐点效用函数给出的每个投资组合的效用。
结果显示，如作者所料，均值方差最优投资组合的标准差低于全局最优投资组合。然而，当其回报低于 -25% 的阈值时，均值方差投资组合遭受更大的平均损失。全局投资组合能够通过减少均值-方差效用函数不可见的不良相关不对称性来减少下行风险。两种规律下组合权重的变化是直观的。全局最优投资组合对美国股票和国债的配置更大，这对资产在样本期间具有最理想的相关不对称特征，而这种模型下几乎没有对商品或公司债券进行配置，这剔除了样本期间相关不对称曲线最不理想的投资组合情况。
总结
在本文中，作者揭穿了分散化总是对投资者有利的谬论，并且指出相关性在上行和下行方向是非对称的。虽然分散化在下行时是有益的，但投资者更愿意所有资产一致上涨，并应在上行方向寻求集中化。在测量条件相关性时，重要的是要调整相关性的数学特点所导致的相关变化。如果回报来自单一的双变量正态分布，为了正确检测相关不对称性，必须 (1) 以单一资产而不是两种资产的回报为条件，并且 (2) 将经验上行和下行相关性与作者预期的值进行比较。不幸的是，当作者进行这些调整时，可以得出结论，大多数资产类别对都表现出不利的相关性。往往在经济下行时即我们最需要分散化风险时，分散的效果会消失；就像阳光明媚的日子里一把笨重的雨伞一样，在经济上行的时候分散化又会非常有效，然而这不会给投资者带来任何好处。最后，作者展示了投资者如何使用全局优化来构建投资组合，这些投资组合明确考虑了非对称相关分布和分布的其他非正态特征，以最大化预期效用。
文献来源
核心内容摘选自WilliamKinlaw, Mark Kritzman, Sébastien Page, David Turkingto在《The Journal of Portfolio Management》上的论文《The Myth of Diversification Reconsidered》。
风险提示
本文结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
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