“学海拾珠”系列之九十五：已实现半Beta：区分“好的”和“坏的”下行风险
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报告摘要
主要观点
本篇是“学海拾珠”系列第九十五篇。本文根据市场和资产收益之间的关系，提出了一个新的分解方法：将传统市场贝塔分解为四种贝塔。本文表明，来自负市场收益和负资产收益的贝塔可以更显著地正向预测未来收益，而来自负市场收益和正资产收益的贝塔能更显著地负向预测未来收益。与正市场收益变化相关的两种贝塔似乎没有定价能力。回到A股市场，当前的研究大多围绕上行和下行beta，然后这两者对股票未来收益没有显著的预测能力，通过更精细化地区分市场以及资产收益的变化关系来构建半贝塔不失为一种可行的改进方法。
- 用更高频的日内数据构建日度半贝塔
实证表明，以日内数据构建的日度半贝塔揭示了比日度数据构建的月度半贝塔更强的定价能力。但是，日度半贝塔进一步证实了月度半贝塔的结果：即βN和βM−的风险溢价都是显著的，而βP和βM+的风险溢价都不显著。
- 考虑交易成本后，基于部分调仓的策略表现更优
考虑到实际执行投资组合头寸的过程中存在成本，现实中不能无限制的实践半贝塔组合策略。本文遵循Garleanu和Pedersen(2013)的思想，每期只调整部分投资组合的权重。结果表明，即使在没有交易成本的情况下，部分调整投资组合的权重也会略微改善业绩。与没有交易成本的部分调整组合相比，加入交易成本自然会降低平均回报率和夏普比率。然而，考虑交易成本后，部分调仓下的投资组合的业绩明显优于完全调仓的投资组合。
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简介
资本资产定价模型(CAPM)是目前研究和应用最广泛的资产定价模型。在其基本形式中，该模型预测了一项资产的预期超额收益与该资产相对于总市场投资组合的贝塔之间的简单线性关系。虽然早期的实证证据在很大程度上证实了这一预测(例如，Fama,1969;Blume, 1970)，之后的大量文献对市场贝塔是否能够解释回报的横截面变化提出了质疑，因为估计的风险溢价太低，往往是很小的，有时甚至是负的(例如，Roll, 1977；Bhandari，1988；Fama和French，1992)。人们对这些发现提出了许多解释，从测量误差(例如，Shanken, 1992;Hollstein et al ., 2019)到代理变量问题(Baker., 2011)，与现金流和折现率相关的不同贝塔问题(Campbell,Vuolteenaho, 2004)，利用约束(Frazzini,Pedersen,2014)以及对不同的流动性和贝塔的需求问题(Acharya，Pedersen,2005)，等等，不一而足。
尽管有这些尝试，但另一种流派，追溯到罗伊(1952)、马科维茨(1959)、霍根和沃伦(1972,1974)以及巴瓦和林登伯格(1977)的早期研究，指出了均值-方差或二次效用、基本资本资产定价模型的基础框架和由此产生的证券市场线以及线性贝塔定价关系过于简单。如果投资者只在波动导致损失而不是收益时才厌恶波动，那么相关的风险度量不是(总)方差，而是负回报的半方差。同样的基本思想也构成了损失厌恶的概念和Kahneman和Tversky(1979)开创的前景理论，并得到了随后大量文献和其他实证证据的支持。直觉上，如果投资者只关心下行变化，那么与正总市场回报相关的协变就不应该在均衡模型中定价。古尔(1991)以及劳特利奇和Zin(2010)对其进行了概括，Farago和Tedongap(2018)最近对其进行了探索。正如Anthonisz(2012)所示，它们也可以被置于一个更传统的随机折现因子定价框架中，该框架假设有一个“被扭曲”的定价内核。
与这些观点一致，Ang等人(2006a)发现，在解释美国股票回报的横截面变化方面，资本资产定价模型(CAPM)的下行贝塔版本比传统的资本资产定价模型(CAPM)做得更好。Post和van Vliet(2004)得出了相同的结论，Lettau等人(2014)也同样发现，资本资产定价模型的下行贝塔版本能更好地解释其他资产类别回报率的变化。相比之下，Atilgan等人(2018年)最近的研究对下行贝塔值能否令人满意地解释近期美国和国际股票回报的横截面变化提出了质疑。Levi和Welch(2020)还得出结论，与传统贝塔提供的可预测性相比，下行贝塔不能更好地预测横截面回报。
在此背景下，本文提出了一个新的四向分解：将传统市场贝塔分解到四个半贝塔。本文的分解依赖于Bollerslev等人(2020a)的半方差概念。让r和f分别表示某一风险资产和总市场投资组合的收益，然后将四个半贝塔定义为：
N、P、M+和 M- 半协方差分量指的是总协方差 Cov(r, f) 的各个部分，分别定义为两个回报都是正的（“P”状态），两个回报都是负的（“N”），市场回报为正的混合符号（“M+”），市场回报为负的混合符号（“M-”）。由于混合符号半方差总是弱负数，较低的值表明较强的协变，为了便于解释本文实证分析中的风险溢价估计，本文特意将混合符号半方差定义为：
当然，传统的CAPM 并没有区别四个协变分量（N、P、M+, 和 M−)，将它们组合成一个单一的市场 β 和单一风险溢价。在上述研究中，下行版本的CAPM模型有效地将两个负市场回报的协变分量（N 和 M-）结合到单个下行贝塔中，将两个正市场回报协变成分（P 和 M+）结合成一个单一的上行贝塔，每个都有单独的风险溢价。
为了进一步直观地理解主要思想，图1描述了市场回报率和四种不同的说明资产的假设二元等高线图，每一种资产的传统CAPM 贝塔值都等于1。由于CAPM 贝塔是相同的，CAPM预测了所有四种资产相同的预期回报。
同时，考虑与市场共同正态分布的组A资产和与大多数股票收益相反的组B资产，在市场低迷时相关性较小，在市场上涨时相关性较大(βN小于βP)。第四节中描述使用半贝塔模型结果,A资产的年度预期超额收益是9.45%,而B资产只有7.09%,这个发现符合投资者特别反对下行风险的特点，因此愿意接受有较低的预期回报率但有优良的依赖结构的资产。另一方面，在图C中描述的资产，在低迷时期比上涨时期与市场的相关性更强(βN大于βP)，因此从均值-半方差角度来看不太可取，其预期回报率为11.91%，相对于资产A增长2.5%，相对于资产B增长4.8%，这两种资产具有完全相同的市场贝塔。最后，与资产C一样，面板D中的资产在低迷时期比上涨时期与市场的相关性更强(βN大于βP)，其混合半协变(βM-大于βM+)使其相对于资产C具有更高的对冲收益，因此其预期回报率较低，为10.86。
与图1所传达的信息和来自四个半贝塔可能被不同定价的想法的含义相反，在一个无摩擦的金融市场中，与N和M- (P和M+)相关的风险应该被相同定价，在资产上做空只是简单地改变相应的半协变成分的符号。然而，正如Pontiff(1996)和Schleifer 、Vishny(1997)所论证的那样，制度约束阻碍了许多机构投资者的卖空行为，而许多个人投资者只是不愿意卖空，从而有效地创造了套利限制和套利风险(另见Hong和Sraer, 2016)。这种套利风险反过来导致N 和 M-（P 和 M+）半协变量分量的定价、βN 和 βM-（βP和βM+）相关的风险溢价之间的联系。直观地说，当市场表现不佳时与市场正向共同变化的资产将加剧下行收益变化，而当市场表现不佳时与市场负向共同变化的资产有助于降低下行风险。相应地，本文发现前一类资产的风险溢价较高。
当然，真正的贝塔和半贝塔是不能直接观察到的。相反，在新兴的已实现波动率文献的指导下，本文依赖于所谓的已实现贝塔(Barndorff-Nielsen和Shephard, 2004)和从固定时间间隔的更高频率回报构建的半贝塔；关于已实现的贝塔概念以及实证应用的更多讨论，也请参见Andersen等人(2006)和Patton和Verardo(2012)。基于这些新指标，本文提供了三个主要的实证贡献。
本文最初的实证研究基于从1963年至2019年样本期的每日股票回报构建的月实现半贝塔。估计的半贝塔清楚地揭示了个股和市场之间的不对称关系，超出了那些由传统市场贝塔表征的线性关系。更重要的是，本文的结果有力地支持了这样一个假设，即这些非线性依赖关系的定价不同：高βN的股票与显著高的未来收益相关；高βM -的股票与显著较低的未来回报率相关；而βP和βM+似乎都没有显著的风险溢价。这些发现与之前在文献中分析的一系列其他回归预测变量相比仍然是稳健的。论证了不同风险溢价βN和-βM-可能归因于市场摩擦和套利限制，本文表明，由套利风险较高的股票组成的投资组合（以特质波动水平，以及更难估值的股票为代表），更能拒绝两个风险溢价相等的假设。进一步强调了半贝塔定价差异的重要性，文献(Ang 2006a)先前主张将传统市场贝塔双向分解为单独的上行和下行贝塔，这也与这里提出的四向半贝塔分解相悖。
其次，本文基于高频日内数据构建了每日实现的半贝塔。本文的样本包含了1993-2019年期间标准普尔500成份股的所有成份股。每日半贝塔可能比从每日回报构建的每月贝塔度量能更好地揭示固有的非对称依赖关系。与这一论点相一致的是，使用基于高频的贝塔测量，本文得出了质量上非常相似，但在经济和统计上更强大的结论。βN和-βM-的定价不同，估计的年化风险溢价分别为18.10%和7.82%，而βP和βM+的估计风险溢价在常规水平上均不显著。相比之下，传统市场贝塔的估计风险溢价为4.49%。进一步阐述结果的统计显著性，本文演示了每日实现的半贝塔如何用于预测更长的周和月周期的回报横截面差异。
最后，本文研究了这些在不同半贝塔的收益上的差异是否转化为在简单的投资组合策略上显著的差异。本文发现，多空半贝塔策略的年平均超额收益为8.17%，年化夏普比率为0.92。相比之下，基于标准CAPM 贝塔和Ang et al. (2006a)下行贝塔的类似投资组合策略分别产生了5.62%和7.11%的超额收益，夏普比率仅为0.37和0.49。使用Carhart(1997)和Fama和French(1993, 2015)的四因素和五因素模型来评估风险调整后的业绩，本文发现年化阿尔法分别为6.85%和7.52%，具有压倒性的显著t统计数据。相比之下，传统的贝塔投资组合和下跌贝塔投资组合产生的阿尔法值要小得多，最多也只是接近显著的阿尔法值。因此，增加了最近关于与贝塔“为敌“或”为友“的文献和辩论(参见，例如，Frazzini和Pedersen, 2014;Cederburgh和O Doherty, 2016;Bali等人，2017;Novy-Marx和Velikov, 2018;Schneider et al.， 2020)，本文得出的结论是，与半贝塔为敌或为友是更好的。
除了所提到的先前在下行风险上面的研究,本文的实证结果也与在股票收益中的不对称依赖关系有关。然而，与所有这些依赖于使用期权和/或非线性步骤来评估非对称联合尾部依赖关系及其定价的研究相比，本文保持了简单的线性定价关系，再加上一个易于实现的加法分解传统市场贝塔为四个半贝塔组成部分。本文新的半贝塔度量也明显不同于Jiang等人(2018)的熵方法，而且实现起来要简单得多。Jiang等人的熵方法旨在测量上行和下行运动中的不对称性。
半贝塔以及联合捕捉到他们的依赖关系,也与协偏度和协峰度有关。本文发现，半贝塔对于解释控制协偏度和协峰度的截面变化仍然非常重要，而这两个相互依赖的指标因为加入了半贝塔指标而变得无关紧要。依赖新的半协变分解系统的市场风险的概念和半贝塔的定义，也使本文的分析有别于其他最近的基于半方差的概念定义和探究资产波动性的实证指标。
本文其余部分的结构如下。在第2节中，本文讨论了本文对已实现的半贝塔的构建，以及对其经验分布特征的简要总结。在第3节中，本文提出了基于公司水平横截面回归与每月实现的半贝塔定价相关的关键实证研究结果。在第4节中，本文讨论了基于高频日内数据估计的每日半贝塔的结果。在第5节中，本文考虑了简单的基于半贝塔的投资组合策略的表现，包括与其他类似构建的基于贝塔的投资组合的比较。第六节是总结。
已实现的半贝塔
本文先正式定义已实现的半贝塔。然后，简要地讨论了本文在主要实证研究中使用的数据，之后总结了所得到的实现的半贝塔估计的显著分布特征。
定义
设rt,k,i表示某固定时间段t内，资产i在第k个时间间隔内的高频收益，总市场的高频收益用ft,k表示。为了明确概念，根据本文下面讨论的两个单独的实证分析，把k看作一天，把t看作一个月，或者把k看作15分钟的时间间隔，把t看作一天。用：
定义带符号的期间内资产收益，带符号的期间内市场收益也同样定义。已实现的半贝塔如下定义：
其中m为每个时间段内高频收益间隔的数量。半贝塔提供了对传统已实现市场贝塔的精确四向分解。
如前所述，本文故意改变两个混合半贝塔的符号，使它们为正，从而允许对相应分解的风险溢价估计进行更容易的解释。
令RVt和COVt,i表示潜在的真实t期市场收益变化和市场收益与单个资产i的收益之间的协变，对应的真实半协变指标分别用Pt,i, Nt,i, M+ t,i和M-t,i表示。Barndorff-Nielsen和Shephard(2004)表明，对于时间间隔越来越小的样本收益，或m趋近于无穷，已实现的贝塔能一致地估计真正的贝塔：
类似地，Bollerslev等人(2020a)关于已实现的半方差的填充渐近理论表明，实现的半贝塔一致地估计真正的半贝塔：
为了便于表示，在剩下的部分中，如果没有必要，本文去掉下标和帽子，将这些已实现的(半)贝塔测度简单地称为β，βN等。
如果市场和资产收益是共同正态分布的，四个半贝塔将不会传达超过传统市场贝塔的新信息。特别地，它遵循联合正态。
然而，如果市场和资产收益不是正态分布，两个一致的半贝塔(β n和β p)和两个不一致的半贝塔(β m +和β m)通常会有所不同，并且相比标准市场贝塔，四个半贝塔中的每一个都可能传递额外的有用信息。因此，每一种半贝塔的定价也可能不同。
数据和统计概要
本文的主要实证研究依赖于证券价格研究中心(CRSP)数据库1963年1月至2019年12月的日常数据。本文包括所有CRSP代码为10和11的股票。与之前的研究一致，本文剔除了所有价格低于5美元的低价股。总而言之，本文总共得到了273,823个月观测数据。
图3的面板A报告了样本中所有股票的横截面平均值、中位数和由此产生的月(半)贝塔估计的平均标准差的时间序列平均值。图B给出了截面相关性的时间序列平均值。与市场和个股之间的平均正相关性一致，两个一致的半贝塔(βP和βN)平均来看远远超过两个不一致的半贝塔(βM+和βM-)。这两个一致的半贝塔与传统市场β的相关性比彼此之间的相关性更强。尽管如此，与传统贝塔的相关性仍然很低，表明相比传统市场贝塔，半贝塔确实传达了不同的、潜在的有用的信息。
为了帮助进一步可视化贝塔的差异，图2的面板A描述了它们在样本中所有天数和股票的无条件分布。正如预期的那样，传统的贝塔分布以1为中心，并且接近对称。同时，已实现的半贝塔都是弱正的，因此它们的分布是右偏的。与图3中的汇总统计数据相呼应，半贝塔分布都在单位1之下居中。此外，两个一致半贝塔的无条件分布(βP和βN)几乎是不可区分的，两个不一致半贝塔的分布(βM+和βM-)也是如此。
图2面板B中显示的平均自相关函数表明所有半贝塔都具有很强的持久性，在每年的第12次滞后时，自相关仍然超过0.4。在本文接下来讨论的资产定价研究中所依赖的横截面收益可预测性回归的基础上，每个月半贝塔的高一阶自相关性约为0.7，这也意味着，本月已实现的对某只股票的半贝塔可以提供对该股票下个月半贝塔的准确预测。
半贝塔和预期横截面收益
本文通过展示标准Fama和MacBeth(1973)型横截面预测回归的结果，开始了对已实现半贝塔中编码的非线性相关性定价相关的实证研究。这些回归可以方便的同时估计每个半贝塔的风险溢价。特别地，对于每个月t = 1，…， T−1，所有股票i = 1，…， Nt，本文通过横截面回归估计不同半贝塔的t + 1月风险溢价(λs)：
基于这些T-1截面估计，然后本文通过样本中所有月份的时间序列平均值估计与每个半贝塔相关的平均风险溢价：
结果的年化估计、基于Newey-West稳健标准误差(使用10滞后)的t统计，以及公式(6)中第一阶段横截面回归的r2的时间序列平均值在图4的第二行被列出。作为一个基准，表的第一行报告了传统CAPM实现贝塔的估计风险溢价。与基本的均值-方差框架一致，传统的贝塔每年具有4.27%的显著风险溢价。这个估计的风险溢价略低于样本中观察到的6.87%的平均年度股权风险溢价，这证实了与贝塔“为敌”投资策略的基本前提(Frazzini和Pedersen, 2014)。
在最后一栏报告的横截面拟合从使用标准CAPM 贝塔时的2.33%上升到使用半贝塔时的5.16%，该结果支持半贝塔传递额外有用信息的想法。我们可以通过下面方法正式检验R2的增加在统计学上是否显著：如果半贝塔风险溢价满足以下条件时，基于半贝塔的定价模型的横截面拟合数值是否会减少到基于传统CAPM模型数值：
本文在684个月的46.1%的样本中以5%水平拒绝了这一条件，因此支持使用半贝塔中包含额外信息的模型。
图4第二行报告的风险溢价估计强调了均值-半方差框架更丰富的定价含义：βN和βM-都与统计上显著的风险溢价相关，而βP和βM+似乎在横截面中没有被定价。不仅强调了估计风险溢价的统计意义，而且也强调了经济意义，相对于其横截面均值，βN一个标准差的增加与预期年回报率3.80%的增加相关。而相对于其横截面均值，βM−的一个标准差增加会降低1.14%的预期回报。
标准风险因子和控制条件
当然，文献中提出了大量其他风险因素和公司特征，它们是股票回报横截面变化的重要驱动因素；参见Harvey等人(2016)最近的报告。关注文献中的一些突出变量，本文考虑了规模(ME) (Banz, 1981)，账面市值比(BM) (Fama和French, 1993)，动量(MOM) (Jegadeesh和Titman, 1993)，反转(REV) (Jegadeesh, 1990)，特质波动率(IVOL) (Ang等人，2006b)，实现波动率(RV) (Andersen等人，2001年)和非流动性(ILLIQ) (Amihud, 2002年)。
图4的第三行报告了来自横截面回归的平均风险溢价估计，除了半贝塔之外，还包括ME、BM和MOM，模仿流行的Fama-French-Carhart四因素(FFC4)模型。与现有文献和最新数据的结果一致，ME和MOM的估计风险溢价均显著，而BM的溢价在常规水平上不显著。相应地，包含三个额外的风险因素将平均横截面R2从仅基于四个半贝塔回归的5.16%增加到基于半贝塔+ FFC模型的10.55%。然而，重要的是，与βN和ΒM-相关的风险溢价在统计上仍然高度显著。
图4最后一行的数据进一步合并了REV、RV、IVOL和ILLIQ作为附加条件。这进一步将平均截面R2提高到13.85%。但是，这些额外的对照并没有显著改变与βN和βM-相关的非常显著的t统计量。此外，βN和βM-的风险溢价估计也与第二行中未纳入任何条件的估计相似，强调了半贝塔定价的稳健性
套利风险和半贝塔定价
上面讨论的半贝塔风险溢价估计是基于(6)中传统的Fama-MacBeth横截面回归方法，涉及每只股票的多头头寸的回报。然而，很容易从等式(2)中的半贝塔的定义中得出，股票i的多头头寸的hat(βNt,i)(hat(βPt,i))等于股票i的空头头寸的-hat(βM-t,i) (-hat(βM+t,i) )。因此，在无摩擦市场中，空头头寸的预期收益等于负的多头头寸的预期回报,与hat(βNt,i)(hat(βPt,i))相关联的风险溢价应该等于负的与hat(βM-t,i) (hat(βM+t,i) )相关联的风险溢价。由于大多数股票都可以相当容易和便宜地借入(例如，D Avolio, 2002年，以及Henderson等人最近的分析，2019年)，βN和βM-显著风险溢价绝对值的差异可能看起来令人困惑。
然而，正如Pontiff(1996)和Schleifer and Vishny(1997)所认为的，由于制度阻碍了许多机构投资者做空，而许多个人投资者只是不愿做空，这可能会有效地产生套利限制和相关的套利风险(参见Hong和Sraer, 2016年的讨论)。这种套利风险反过来可能导致与多头和空头头寸相关的系统性风险的定价不同。如Brunnermeier和Pedersen(2009)以及Anthonisz和Putnins(2017)所讨论的那样，流动性外逃以及随之而来的流动性螺旋下降可能会进一步加剧这些定价差异。
为了证实这一猜想，本文遵循文献，使用特质波动率(IVOL)作为套利风险的指标(例如，Pontiff, 1996;Stambaugh等人，2015)。直觉上，如果套利者能够抵消其对基准风险的敞口，那么IVOL(相对于总波动率)自然会被解释为套利风险的衡量标准，IVOL越高意味着价格修正套利的障碍越大。因此，本文将股票的横截面分成高和低IVOL的股票组，并比较每组的风险溢价估计。本文依赖与上一节中相同的IVOL计算方法。
为了便于对两个单独的IVOL组的λN = -λM-的假设进行直接检验，本文将(6)中的横截面回归重新参数化为：
这种重新参数化不会改变回归的拟合。然而，方便的是，它允许构建一个简单的t检验，以假设基于δMt-估计的时间序列平均值，βN和-βM-的风险溢价是相同的:
实施这些横截面回归，并对样本中每个月IVOL最低的50%的样本进行简单t检验，结果δM-的估计值为3.84，t统计值不显著（1.02）。另一方面，与βN和-βM-的不同风险溢价可能归因于套利风险的论文一致，对于具有最高IVOL的50%的股票，其δM-估计为10.98，具有显著的t统计量为2.59。
为了进一步论证套利风险和估值不确定性所发挥的作用，本文还考虑基于换手率(TO)的分组估计。一般认为，难以估值和投资者意见分歧较大的股票的换手率较高(例如，Harris和Raviv, 1993;Blume 1994)。因此，高换手率的股票也可能造成更大的套利价格差异(例如，Kumar, 2009)。与此观点一致的是，TO分组的估计结果与IVOL分组的结果大致相同：对于50%的资产收益率最高的股票，δM-的估计(t统计量)为8.38(2.30)，因此对股票估值更困难，而对于50%的资产收益率较低的股票，δM-的估计(t统计量)为5.60(1.22)，因此股票的套利风险较小。
3.3 上行和下行贝塔
除了图4中所包含的预测变量的集合外，其他贝塔分解也被发现可以改进传统的CAPM。与目前的分析最密切相关的是Ang等人(2006a)在被广泛引用的研究中提出的上行和下行贝塔。其中已实现的贝塔版本被定义为：
这里提出的半贝塔通过对市场和资产回报的协变条件来解释联合不对称关系，而上行和上行贝塔仅以市场回报的符号为条件。
为了便于比较，在图5的第一行，本文重复图4中的半贝塔的基准结果。图5中的第二行报告了与上行和下行贝塔相关的估计平均风险溢价。结果与Ang等人(2006a)的发现大致一致，因为只有β -具有显著的风险溢价。结果也符合在最上面一行的半贝塔的估计风险溢价，这表明只有占负的市场变化的βN和βM−才与显著的风险溢价相关。
为了更直接地比较和对比半贝塔的定价与上行和下行贝塔的定价，图5中的第三行报告了通过在相同的横截面回归中包括所有六个贝塔得到的估计。尽管半贝塔和上行/下行贝塔之间的相关性相对较高， βN的估计风险溢价显然是最显著的，t统计量为3.50，其次是βM-的溢价，t统计量为-2.90。与此同时，β-的风险溢价的t统计量只有1.27，这表明在半贝塔中包含的信息有效地包含了下行贝塔中关于解释收益横截面变化方面的信息。所有的半贝塔风险溢价为零，上行和下行贝塔具有非零风险溢价的联合假设检验，p值是0.01，显著拒绝零假设。相比之下，一个上行和下行贝塔溢价都是零，半贝塔有非零溢价的检验，p值为0.16，不能拒绝零假设。
为了方便更直接地测试半贝塔与上行和下行贝塔相比是否提供了更好的横截面价格预测，请注意，后者可以作为前者的加权和得到：
由于半贝塔的权重只涉及市场收益的函数，它们在横截面上没有变化。相应地，如果以下限制在每个周期的基础上，这里提出的半贝塔定价模型可以简化为Ang等人(2006a)的上行和下行贝塔定价模型：
本文发现，在684个月的横截面回归中，有42.0%的月在5%的水平上拒绝了该假设(回想一下，(8)中更严格的CAPM限制在样本中46.1%的月的5%水平上被拒绝)。更进一步，本文还可以检验更强的假设，即只有下行贝塔风险被定价：
本文发现这个假设在样本中50.5%的月份以5%的水平被拒绝。
(12)和(13)中的逐期限制显然意味着必须保持相同的限制条件。用简单的t统计来检验上文第3.2节讨论的不同股票组的λN = λM的假设，指出了套利风险可能是拒绝这一假设的源头。换句话说，市场摩擦和套利限制的存在意味着，只考虑下行贝塔会导致相对于基于下行半贝塔的模型的重大信息损失。
协偏度和协峰度
半贝塔简明地解释了非正态分布的系统风险条件下的正负回报。文献中还探讨了一些其他更以统计为导向的指标，作为表示非正常的不对称联合收益依赖关系和可能的定价的一种方法。其中最显著的是可论证的协偏度，最初由Kraus和Litzenberger(1976)提出，并由Harvey、Siddique(2000)和Christoffersen等人(2017)进行了更广泛的分析。其他人也同样认为，co峰度似乎在横截面中得到了定价(例如，Dittmar, 2002和Ang等人，2006a)。直接遵循这些研究，本文计算股票i的每月实现的协偏度和协峰度：
与上述引用的研究一致，图5第四行报告的月度CSK和CKT指标的估计风险溢价确实都具有统计学意义。同时，通过对第一行和倒数第二行进行比较，可以看出半贝塔定价模型对数据的拟合要比协偏度/协峰度模型好得多，其平均截面R2为5.16%，而协偏度/协峰度模型为1.68%。下面一行的结果表明，将所有6个指标结合在一个模型中进一步提高R2到6.40%。然而，重要的是，在包括CSK和CKT的回归中，与βN和βM相关的t统计量仍然非常显著。
同时，在5%的水平下，拒绝了半贝塔溢价或协偏度/协峰度溢价等于零的联合检验。因此，这表明，虽然协偏度和协峰度的横截面解释能力大大低于半贝塔，但它们确实包含了半贝塔和半贝塔没有包含的关于非线性关系的额外信息。这也许并不奇怪，因为协偏度和协峰度主要是由尾部的联合依赖关系驱动的，而且最近的几项研究都认为，此类系统尾部风险的定价似乎与其他风险不同(参见，例如Kelly和Jiang, 2014;Bollerslev等人，2016;Chabi-Yo等人，2019;Orlowski等人，2019年)。相比之下，这里提倡的半贝塔依赖于与市场和更“正常”的系统风险有关的标准协变的简单分解。
高频数据和每日半贝塔
与更精细的样本收益相比，累计收益更接近于正态分布(参见，例如，Campbell 1997；恩格尔,2011)。因此，在上一节中讨论的结果基础上，由日回报构建的月实现半贝塔可能会掩盖更微妙的非常规性的依赖关系，这将由更高频率的日内回报构建的日实现半贝塔揭示出来。当然,已实现的半贝塔一致估计真正的潜在的协变组分还取决于在固定时间间隔的更好的样本收益，在构建贝塔的过程中，使用日内收益而不是日收益可以更好地进行实证模拟。
因此，本文通过研究由高频日内数据构建的每日半贝塔的定价来扩展本文之前的分析。本文的分析依赖于从交易和报价(TAQ)数据库中获得的高频数据。本文包括了1993年1月至2019年12月样本期内标准普尔500成分股的所有成分股，总共有6799个交易日和1182只证券。本文采用15分钟采样方案，或每天m = 26个返回观测，用于计算已实现的半贝塔指标。当采样太细时，这种选择在由市场微观结构效应引起的偏差与支撑已实现的半方差指标的一致性的理论连续时间论据之间取得了明智的平衡。本文进一步将股票的盘中TAQ数据和样本与CRSP数据库进行匹配，以获得每只股票的全天收益(这也确保了对股票分割和股息的正确处理)。本文随后所有的资产定价研究都是基于这些全天的、由此产生的更长时间的周回报率和月回报率。本文在构建高频市值加权市场指数时，也依赖于CRSP数据库中个股的每日市值。
附录b提供了每日实现的半贝塔的完整的描述性汇总统计。一般特征相当接近于第2.2节中讨论的每月半贝塔的特征。两种一致半贝塔的平均值(βp和βn)超过了两种不一致半贝塔的平均值(βm+和βm-)，而且βp和βn与传统市场β的相关性也比βp和βn更强。为了支持本文在每日预测Fama-MacBeth回归中使用每日实现的半贝塔，每日半贝塔甚至比月半贝塔具有更强的自相关性，一阶自相关性约为0.9。
转向日度Fama-MacBeth回归，图6报告了估计的年化风险溢价，以及基于Newe - West稳健标准误差(使用22个滞后)的t统计数据，以及第一阶段横截面回归R2的时间序列平均值。与在月度半贝塔估计中使用日回报模糊了由每日实现的半贝塔表征的一些固有的非对称依赖的想法一致，每日半贝塔揭示了比表2中月半贝塔的相应结果更强的预测定价关系。然而，同样的关键发现仍然存在：βN和βM−的风险溢价都是显著的，而βP和βM+的风险溢价都不显著。进一步反映了月度结果，半贝塔定价模型的解释力再次超过了报告第一行的传统CAPM的两倍，平均横截面R2为5.42%，而传统CAPM只有2.57%。根据(8)中的假设，与四个半贝塔相关的风险溢价的约束检验确实是相同的，也在70%的6799天样本中以5%的水平被拒绝。进一步证实了日度结果的稳健性，图6的底部两行显示，每日βN和βM-的风险溢价的显著性仍然保持不变，因为纳入了与图4中每月半贝塔考虑的相同的一组对照。
本文在第3.2节的讨论指出，套利风险可能是月βN和βM-估计风险溢价绝对值差异的一个解释。进一步加强猜想，本文重复相同的日常半贝塔分层评估方法，考虑单独的组股票的高和低风险套利，借助 (9)和t统计量测试δM-等于零，比较产生的风险溢价估计。特别地，考虑到样本中每一天有50%的股票IVOL最低，δM-的估计为2.58，t统计值为0.54，不显著，而50%的股票IVOL最高的δM-的估计为23.93，将样本分成日交易额(TO)最高和最低的50%，δM-的估计(t统计量)分别为-3.89(- 0.79)和8.04(2.18)。因此，这些结果再次表明，βN和-βM-的不同风险溢价可能至少部分归因于套利风险。
与本文在第3.3节中对月度半贝塔的分析并行的是，图7进一步表明，纳入每日等价物的上行和下行贝塔以及协偏度和协峰度不影响每日半贝塔的显著性。与Ang等人(2006a)一致，第二行中的估计意味着只有下行贝塔风险被定价。然而，在表格的第三行报告的横截面回归中包括半贝塔，再次使β+和β-的估计风险溢价不显著。在等式(12)中，假设对应于半贝塔的对称定价，在63.5%的6799个每日横截面回归中，以5%水平被拒绝，而在等式(13)中更强的假设，只对应于下行贝塔风险被定价，在72.8%的日常回归中，以5%水平被拒绝。
与图5中的月度结果相比，在图7的第四行中报告的每日实现的CSK和CKT指标的估计风险溢价都不显著。同时，如表的最后一行所示，CSK和CKT与半贝塔一起包含时都变得显著。然而，每日βN和βM的估计风险溢价在包括每日CSK和CKT的横截面回归中仍然非常显著。
每日半贝塔和更长的投资期限
每日实现的半贝塔和未来每日回报的横截面变化之间的强预测关系自然会引发这样的问题：基于每日半贝塔的相同预测关系是否会延续到更长的投资期限？为了探究此问题，本文依赖于相同的第t天已实现的半贝塔和横截面回归(6)（本文用t + 1到t + h的累积回报替换日回报，设置h = 5和h = 20，分别对应于一个星期或者一个月）。这实际上相当于使用每日半贝塔来预测多个日收益，以及它们的总和，因此，人们可能会期望更长期的预测结果比一天前的收益预测的结果更弱。
尽管如此，图8报告的结果通常与图6报告的日回报预测一致。它们也与第3节中讨论的更广泛的股票样本的月度半贝塔和月度预测范围的结果一致：βN和βM-的估计风险溢价都具有高度统计意义，而βP和βM+似乎都没有定价能力。检验由CAPM隐含的限制，如式(8)中的HCAPM 0,t所示，本文在5%的显著性水平下分别对67.2%和63.3%的周回归和月回归拒绝零假设。检验对称定价限制，由假设HUP+DOWN 0,t在Eq.(12)中给出，本文在5%的水平上分别对61.5%和59.0%的周回归和月回归拒绝零假设。此外，假设βN和βM-的风险溢价是相同的，βP和βM+都没有定价能力（如HDOWN 0,t在Eq.(13)中规定的），在5%水平上分别在69.4%和66.3%的周回归和月回归中被拒绝。
进一步证实了图6中基于更短的日投资周期的发现，当包含了一组广泛使用的控制变量时，每周和每月的λN和λM-估计都在统计上保持显著性。与此同时，比较估计的半贝塔风险溢价的幅度，(年化)月估计自然比(年化)周估计要小。
与半贝塔为友还是为敌？
为了帮助更好地评估半贝塔定价的统计和经济意义，本节展示了各种半贝塔交易策略的表现。除了与βN“为友”和与βM-为敌的投资组合之外，本文还考虑由βN“为友”和与βM -为敌投资组合的等权重组合构成的半贝塔策略。
为了避免Novy-Marx和Velikov(2018)的批判点，本文使用成熟的方法构建了多空组合。首先，如上所述，本文从高频计量经济学的方法估计贝塔和半贝塔使用标准。然后，本文在股票的头部五分位数中持有市值加权的多头头寸，在底部五分位数中持有市值加权的空头头寸，每天进行重新平衡，得到零成本投资组合。本文依靠连续复利(而不是算术)收益来计算长期持有的累积投资组合收益。本文将股票样本限制在标准普尔500指数的成分股中，从而明确排除了小市值的、可能难以做空的微型股。本文使用Fama、French(1993)和Carhart(1997)的四因子模型(FFC4)，以及Fama和French(2015)的五因子模型(FF5)来评估风险调整后的投资组合业绩。
图9的最上面一组报告了多空组合的平均收益、标准差和年度夏普比率。半β投资组合的平均回报率几乎是贝塔投资组合的两倍，而波动性仅略高于贝塔投资组合的一半，合并后的夏普比率为0.92，而传统市场贝塔投资组合的夏普比率为0.37。后两列表明，半β组合的βN和βM-成分都有助于其卓越的表现：与传统贝塔组合有类似的波动，但是βN组合产生更高的回报，而βM组合产生类似的回报与低得多的波动。
图9的下部面板报告了不同投资组合的估计的FFC4和FF5alpha和因子暴露。根据FF5因子模型，传统的贝塔策略产生的年化alpha为3.94%，统计量为1.98。根据FFC4因子模型，贝塔策略没有产生显著的alpha。相比之下，根据FFC4和FF5因子模型，半β策略以及两种潜在成分都产生了较大且显著的alpha。年化的alpha值在5.68% - 8.59%之间，对应的t统计值在3.31 - 6.49.11之间。当然，在计入交易成本时，这些alpha值会降低，本文将在下文对此进行更详细的分析。
相比估计的因子暴露，传统的多空β组合和βn组合表现出相当相似的FFC4和FF5系统风险暴露。同时，βM-组合的估计因子负荷也存在显著差异。与其他投资组合相比，βM-投资组合接近市场中性。FFC4估计进一步表明，该投资组合比其他投资组合包含更高比例的价值股，而FF5估计指出，与任何其他投资组合相比，盈利能力和投资因子的风险敞口明显更低。组合的半贝塔策略自然地反映了βN和βM-投资组合的不同风险概况。
比较研究
为了强调半贝塔组合的优越性，图10报告了类似构造的上行和下行贝塔，以及协偏性和协峰度组合的结果。鉴于Ang等人(2006a)和Harvey、Siddique(2000)的相关讨论，本文考虑基于股票的头部和底部五分位数与β-为友、与β+为敌、与CSK为友和与CKT为敌的市值加权多空头寸。与上面讨论的半贝塔投资组合并行，本文还考虑了两对投资组合的等权组合，表中分别表示为“β- —β+”和“CKT -CSK”。
图10中最上面的面板显示，只有β组合的夏普比率超过了传统的贝塔组合。然而，β组合的夏普比率为0.49仍然大大低于图9中所有基于半贝塔策略的夏普比率。图10中的下半面板进一步表明，CSK和CKT投资组合的FFC4和FF5 alpha值都很小，在统计上不显著。只有β组合在FFC4和FF5因子模型中分别获得4.15%和5.64%的显著alpha值。正如人们所预料的那样，β组合的估计风险敞口与图9中报告的半贝塔组合的估计相当相似。然而，尽管在风险暴露上有这些相似之处，半贝塔组合的年化FFC4和FF5alpha比β组合的alpha更大、更显著，再次强调了与半贝塔“为敌”，与半贝塔“为友”策略的卓越表现。
更长的持有期
在图9中考虑的每日多空(半)贝塔策略的再平衡可能很难在实践中实施。为了减轻这种担忧，本文考虑基于较低频率的周和月再平衡，或同等较长的周和月持有期的相同投资组合策略的表现。
特别地，图11显示，转向周度再平衡会对传统的贝塔策略产生负面影响，夏普比率从0.37显著下降到0.16。此外，每日再平衡的FF5 alpha值会变得很小且不重要。相比之下，第二组专栏报告的半贝塔策略继续跑赢大盘。夏普比率确实从0.92下降到0.59，年化的alpha也比更频繁的每日再平衡得到的alpha略低。然而，FFC4和FF5 alpha仍然非常显著，t-统计量分别为3.40和3.84。
图12给出了基于更低频率的每月投资组合再平衡的相应结果。尽管在统计上不显著，传统贝塔策略的夏普比率进一步下降到0.01，相应的FFC4和FF5alpha都变为负的。另一方面，半贝塔投资组合仍具有吸引力。0.42的夏普比率明显低于日再平衡和周再平衡得到的比率，年化的FFC4和FF5 alpha也都小于对应的日和周alpha。尽管如此，这两个alpha在统计上仍然显著，与第4.1节中的分析一致，半贝塔和未来回报之间的关系在每日、每周和每月的水平上保持相同。
交易成本
上面的分析与各种押注(半)贝塔策略的盈利能力有关，没有考虑到实际执行投资组合头寸的成本。这种成本在实践中显然很重要。因此，在本节中，本文明确地考虑了交易成本的影响。
为了更好地复制不做太多交易的实践，本文关注每月再平衡的半贝塔组合。与之前的研究相比，本文假设交易成本与投资组合的换手率成正比，投资组合换手率简单地计算为投资组合多头和空头换手率的总和。为了提供一个实证上现实的上界，本文只需将样本中所有标准普尔500股票的往返交易成本固定在0.5%。
在没有交易成本的情况下，一直交易到最优的位置才停止，为了改变这种情形，文献中已经开发了几种方法来帮助降低交易成本。这些方法通常针对手头的特定设置和策略，可能很难实际执行。相反，本文遵循Garleanu和Pedersen(2013)的简单实现思想，即每个时期只部分调整投资组合的权重。具体来说，让ωF,t表示t月份(完全调整)半贝塔投资组合权重的向量。则t月部分调仓后的组合权重为：
式中，标量参数控制调整速度。Bollerslev等人(2018)最近也采用了同样的方法。虽然这种部分调仓的方法将有助于减少换手，但它通常也会抑制这种信号。因此，收益取决于特定策略和产生的交易成本之间的相互关系，因此，λ的最佳选择也必须在每个策略基础上确定。本文在这里不打算这样做。相反，与移动平均滤波在其他情况下的使用类似，包括波动率估计，本文简单地设置λ = 0.95，并通过ωP,1=ωF,1固定 初始化权重。
图13总结了经过部分调仓的半β组合的业绩。为了便于比较，最左边的两列显示了没有交易成本的结果，对应于图12中的第二组。第二组显示了带有交易成本的结果。正如数据所示，这样做会严重影响半贝塔策略的表现，导致显著的负阿尔法。为了帮助对抗“过多交易”的有害影响，最后两组列展示了部分调仓的投资组合的结果，包括交易成本和没有交易成本。有趣的是，即使在没有交易成本的情况下，部分调仓投资组合的权重也会略微改善业绩。与第一组列的数字相比，平均收益略高，而波动性略低，导致夏普比率从0.42上升到0.51。同样，对于基于部分调仓权重的投资组合而言，阿尔法值也更为显著。换句话说，只交易到目标的一部分不仅减少了换手，而且似乎还减少了半贝塔估计中的“噪声”，从而加强了信号，从而导致整体上表现略好。最后一组专栏的结果进一步突出了部分调仓法在存在交易成本的情况下的优势。与没有交易成本的部分调仓组合相比，纳入交易成本自然会降低平均回报率和夏普比率。然而，部分调仓的投资组合的业绩明显优于带有交易成本的完全调仓的投资组合。部分调仓的半贝塔组合的FFC4和FF5 alpha也都保持为正，并且在统计上显著，t统计量分别为2.12和3.79。
为了考察收益的时间序列分布，并更清楚地对比半贝塔策略与基于传统多空贝塔策略的收益，图14绘制了两种策略的累计收益。在这两种情况下，本文都使用部分调仓后的投资组合权重。实线描绘了忽略交易成本的累计收益。虚线表示包含0.5%交易成本的收益。如图所示，半贝塔策略在样本期的大部分时间都表现良好，即使在纳入交易成本后，也能在样本期末获得相当高的累计回报。相比之下，与Frazzini和Pedersen(2014)所倡导的反向押注Beta的观点一致，传统的贝塔策略在样本期间的大部分时间表现都很糟糕，导致即使没有纳入交易成本，在样本结束时累积回报也为负。
结论
本文提出了一种将传统市场贝塔分解为四个半贝塔的新方法，这些半贝塔由市场和单个资产收益之间的带符号的协变定义：
与投资者只关心下行风险的设置的含义一致，本文发现只有两个与负市场回报变化相关的半贝塔被定价。与此同时，本文强烈反对传统的下行贝塔模型所隐含的观点：βN和-βM-风险溢价相同。本文将这一差异归因于套利风险，这种风险导致多头与空头之间的收益出现分化。
各种说明和实证分析的结果（涉及不同的采样频率、预测范围和一系列附加控制条件），表明βN的风险溢价大约是-βM-的两倍，大约是传统市场风险溢价β的三倍。本文进一步建立了简单的交易策略，即与βN“为友”和与βM-“为敌”，会导致夏普比率超过市场的两倍。考虑到交易成本，这些同样的多空半贝塔策略继续产生经济意义上巨大的、统计上非常显著的风险调整后的alpha。总之，不要与传统贝塔“为友”或是“为敌”，但要与半贝塔“为友”或“为敌”。
文献来源
核心内容摘选自Tim Bollerslev、 Andrew J. Pattonb和Rogier Quaedvlieg在《Journal of Financial Economics》上的论文《Realized semibetas: Disentangling “good” and “bad” downside risks》。
风险提示
文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
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