“学海拾珠”系列之七十六：主成分分析法下的股票横截面定价因子模型
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报告摘要
主要观点
本篇是“学海拾珠”系列第七十六篇，本期推荐的海外文献开发了一种运用主成分分析法（PCA）从股票收益中提取公共定价因子的方法，使用该方法，作者得到了三个定价因子，它们相比当前使用的主流因子模型在横截面收益解释程度方面表现更好。回到A股市场，基于主成分分析法的因子模型有助于更深入了解股票特征因子在横截面中定价中的联动效应，将具有超额收益的因子分离出来。
- 构建一种在股票收益中分离公共定价因子的方法
模型分为两步构建：第一步，对多个可以预测未来股票收益的特征变量（如公司规模，账面市值比，动量等）进行Fama MacBeth(1973)回归，使用回归中的估计系数预测每只股票未来一个月的收益并根据预测的收益率对股票排序并构造投资组合；第二步，使用主成分分析从这些组合收益中提取公共因子，作者提取了前三大主成分，并命名为“水平、斜度、曲线”因子模型（level, slope, andcurve factor model）。
此命名的来源是，按预期收益排序的投资组合在第一个因子上的因子载荷是一条接近水平的线（“level”），第一个因子类似于一般市场投资组合，与主流模型中市场指数的相关系数为 0.95；第二个因子的因子载荷是一条单调的倾斜的线（“slope”），金融文献中已经确定的大多数因子都属于此；第三个因子的因子载荷是一条中间拱起的曲线（“curve”），这表明极端股票价格往往会同向变动，如果“curve”因子有正的收益收益，那么预期收益非常高和非常低的股票都会有相对较低的未来收益，而预期收益中等的股票则会有相对较高的未来收益。
- 水平、斜度、曲线模型与主流模型相比有更好的定价效果
作者发现水平、斜度、曲线模型相比CAPM模型、Fama和French三因子模型、五因子模型以及Hou等人的q因子模型，在横截面定价时，未捕捉到的平均alpha绝对值更低，并能解释更多的平均收益变化。同时，在Barillals和Shanken的夏普比率测试中，该模型相比这些模型也取得了至少一样好或更好的效果。而且在样本外的测试中，水平、斜度、曲线模型显示出了很好的稳健性。
风险提示
本文结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。
简介
关于资产定价因子方面研究的文献数量近年来爆炸式增长，其中一些因子是定价因子，资产对它们的暴露通常以更高的预期收益来补偿，而有些因子则不是定价因子。非定价因子代表股票收益之间的共同变动，但不会带来收益溢价。作者构造了一种寻找股票收益中共有定价因子的方法。第一步，使用几个股票收益预测因子按股票预期收益对股票进行排序构造投资组合；第二步，利用主成分法分离共有因子，即通过在已按预期收益排序的投资组合中提取共有因子的方法来剥离股票横截面定价中的联动效应。
为了区分定价和非定价的公共因子，需要使用多个不同的预测变量对预期收益进行排序。例如，在第一步中如果仅按BP（市净率倒数）对股票进行排序，虽然可以产生对预期收益的排序，却不太容易分离出定价因子，因为按BP排序的投资组合中既有定价因子，也有非定价的共同变动因子（Daniel 和 Titman，1997 年）。为了克服这个问题，作者使用多个预测组合收益的因子进行多变量回归估计后，按照估计的预期收益进行排序。该过程可以将具有非零收益溢价的因子分离出来，并把定价因子与其他非定价因子区分开来。
使用这种方法，作者发现从这些投资组合中可以提取三个共有因子，并称之为“水平、斜度和曲线”因子模型（level, slope, andcurve factor model）。此命名的来源是，按预期收益排序的投资组合在第一个因子上的因子载荷是一条接近水平的线（“level”），第一个因子类似于一般市场投资组合，与主流模型中市场指数的相关系数为 0.95；第二个因子的因子载荷是一条单调的倾斜的线（“slope”），金融文献中已经确定的大多数因子都属于此；第三个因子的因子载荷是一条中间拱起的曲线（“curve”），这表明极端股票价格往往会同向变动，如果“curve”因子有正的收益收益，那么预期收益非常高和非常低的股票都会有相对较低的未来收益，而预期收益中等的股票则会有相对较高的未来收益。
作者发现，水平、斜度和曲线因子模型的表现与其他几个主流的资产定价模型相比有相似甚至更好的效果。当针对不同（超额收益）排序的投资组合进行回归解释时，水平、斜度和曲线模型回归得到的平均绝对alpha更低，证明捕捉了大部分的组合超额收益，且该模型在横截面上解释收益的力度比CAPM模型、Fama 和 French (1993) 的三因子模型（添加动量，四因子模型）、Fama 和 French (2015)五因子模型，以及 Hou 等人的 q 因子模型 (2015)更加充分。当参考Barillas和Shanken (2018)构造投资组合时，本文模型产生了更高的夏普比，尤其是在样本外。
这种提取定价因子的方法对有关股票横截面收益方面的文献做出了重要贡献。
首先，Cochrane (2011) 呼吁重组股票收益的因子框架，需要确定哪些因子是最重要的，哪些因子应该由更深入的宏观经济模型来解释。本文使用的方法可以找出在横截面中定价的最重要且显著的风险因子，即由水平、斜度和曲线因子模型概括。
第二，本文在概念上将预测未来股票收益和创建因子模型这两件事分开。一般情况下，因子的创建是找到一个收益预测指标来形成单变量交易策略，或几个收益预测指标共同构成多变量交易策略。本文给出了另一种将收益预测指标转换为定价因子的方法，每一个指标的权重类似于它预测能力的边际贡献。而主流因子模型的改进往往受理论驱动，在实操上可能备受争议。本文弥补了由经验产生的因子模型和理论产生的因子模型之间的鸿沟，提出了一个明确的构造规则。
第三，本文构造了一个不以公司特征为核心的因子框架。虽然基于股票特征的排序方法已有许多研究，但是，股票价格的同向变动可能不是主要由股票特征的趋同引起的。在本文中，公司特征只是预测收益的有用信号，在这种框架下，并不关心估值究竟时用市净率（PB）、市息率（PD）、市销率（PS）描述更好，也不关心盈利究竟用ROE、毛利率还是现金盈利能力描述更好，这些公司特征仅在它们改变预期收益模型的整体预测能力时才有影响。
框架
作者从线性因子模型产生的收益开始讨论。证券i的收益 是其预期收益 与其因子载荷乘以不相关的定价和非定价因子及一个误差项的和。作者将定价因子F和非定价因子G分开，非定价因子只有0的收益溢价。
如果套利定价定理成立，那么证券的预期收益是由各因子的载荷及其相关溢价产生的。
由于非定价因子的相关溢价为0，只有定价因子的收益溢价 和这些因子上的载荷才能决定其预期收益。如果一个特征能预测收益，那么这个特征一定能预测某个定价因子的载荷。
以此为动机，为了加强股票间定价因子的共同联动并分散非定价因子的联动，作者按预期收益对股票进行排序组合。这个排序加强了与预期收益相关的共同因子投资组合的联动所产生的影响，并削弱了零风险溢价的共同因子所产生的影响。如果单独使用一个预测预期收益的因子，例如账面市值比，就很难区分开定价因子联动和非定价因子联动。任何一个单一的公司特征都可以用来预测定价因子和非定价因子的因子载荷，但是，结合许多不同的收益预测特征后，加强定价因子的效果，分散非定价因子的效果，就可以创造出按预期收益风险排序的投资组合。通过从这组基础资产中提取因子，就可以创建一个新的线性因子模型。
这种方法回应了因子模型文献中出现的一种矛盾。早期的线性因子模型的概念认为，非定价的因子可能非常多，任何两只由共同的意外现金流新闻连接起来的股票，即使对预期收益没有影响，也可能是由一个共同的因子连接起来的，而这些因子可能与定价无关。
当代的因子模型方法在很大程度上依赖于这个想法。当Fama和French（1993，1996）在公司规模和账面市值这两个被认为可以预测不同股票预期收益的特征上分出双变量特征组合时，他们也是遵循这样的逻辑：定价因子可以从整个因子结构中分离出来，而非定价因子可以被分散掉。但是，正如Daniel等人（2020）所提出的，非定价因子的可忽略性取决于这样的假设：定价因子的载荷与非定价因子的载荷不相关。如果载荷是相关的，那么非定价因子就应该出现在资产定价模型中，而不能被视为一个可忽略的特异性因素，因为对非定价因子的暴露必须从均值-方差有效组合中对冲，越来越多的文献表明，单个非零溢价因子可能会暴露于非定价的因子。
本文提出了一种方法，可以旋转因子，使得只有一个因子有非零的风险溢价，而其他所有因子都是非定价的。
这样得到的唯一的因子是一个均值-方差有效投资组合，包含了各种可投资资产。若这个表达式只有单因子，那么只有股票的第一个因子的beta和其对应的因子风险溢价会出现在预期收益的方程中。
如公式（4）所示，套利定价模型真正感兴趣的特征是预期收益，也就是定价因子的载荷(β)。通过对预期收益进行排序形成分散投资组合，与预期收益不相关的非定价因子上的股票载荷（ϕ）被清洗掉了。剩下的因子结构是由暴露于均值-方差有效因子以及任何载荷与均值方差有效因子相关的因子决定的。这个最小化的因子模型中只包含资产定价的必要因子。
为了与传统的方法进行比较，可以如下考虑，如果Fama和French(1993)已经能够观察到真正的股票预期收益，而不是粗略的近似值、市值和账面价值。如果现在可观察到的预期收益与市值、账面价值和动量等公司特征一样频繁变化，那么仍然只有很短的时间跨度来估计复杂的股票间收益协方差。预期收益的存在并没有使得估计均值-方差模型所需的股票间收益协方差矩阵变得容易。在基础资产中选择构造投资组合的资产时，寻找一个因子模型，似乎仍然是最好的方向。而此时构造投资组合选股的最佳特征当然是股票的预期收益。
当然，预期收益是不可观察的。本文认为，潜在的预期收益应该是被建模为公司特征的函数。公司规模和账面价值以及任何其他相关的特征都是重要的，因为它们可以预测预期收益。具有类似特征的公司可能同样会受到非定价因子的影响。在传统的方法中，基础资产是由一个或少数几个特征构成的，即使这些特征是预期收益的可靠预测因素，这些非定价因子载荷的存在也可能混淆所产生的因子。这种观点的改变并没有消除识别不可观察的预期收益的可靠预测因子的艰巨任务。但按照Fama和French(1993)的逻辑，虽然目的不同，本文仍然可以提供一个使用各种预期收益预测变量来考虑因子模型的方法。
排序法构建投资组合
本文的样本使用美股从1964年7月到2015年12月的数据。变量的定义参考Fama 和French（2008），但有两个例外。针对Novy- Marx（2013）和Ball等人（2015）的观点，Fama和French认为营业利润率是一个比账面资产收益率更稳健的截面平均收益预测指标，而Aharoni等人表明，公司层面的资产增长是一个比每股资产增长更好、更具理论意义的预测指标。因此，作者参考这些文献略微调整了Fama和French（2008）的回归，。
为了按预期收益率对股票进行分类，作者用多个公司的特征作为预测变量形成投资组合。Fama和French(2006)提供了一个三步法来实现，首先，运行Fama和MacBeth(1973)横截面回归。第二，使用回归中的系数估计值来预测每只股票未来一个月的收益。第三，根据预测的收益率，将股票排序并构造投资组合。
该方法的目标是产生一个投资组合排序，该投资组合仅使用投资者在形成投资组合时横截面上可得的信息，使得排序中各投资组合平均收益差异最大。确定投资者的信息集时，Fama和French使用全样本的参数估计值，以便将股票分为不同投资组合。使用这种方法的理由是，整个时间序列的全样本信息可以最好得反映出每个异象特征对预期收益的贡献。然而，Haugen和Baker（1996）和Lewellen（2015）只使用过去数据的回归来形成分类。作者在后续的主要测试中同时使用全样本和样本外的数据集来展示结果。
每个横截面回归的形式如下：
横截面回归的被解释变量是每只股票在下个月超过无风险利率（XRet）的超额收益率，解释变量包括对数公司规模（LogSize）、对数账面价值（LogB/M）、动量（Mom）、如果没有发行股票则指标变量等于1的虚拟变量（zeroNS）、股票发行数（NS），负应计费用（negACC），正应计费用（posACC），资产增长（dA/A），正营业利润率（posOP），以及如果营业利润率为负值则等于1的虚拟变量（negOP）。Fama和French（2008）发现，不同公司规模的股票（微型、小型和大型）对特征预测变量的暴露程度不同，因此作者对每个公司规模组的回归进行了单独估计，允许参数估计值在这些组中有所不同。由于动量特征每个月都会更新，因此作者对每月的数据都进行回归，形成一组投资组合。
由此产生的25个排序的投资组合，将其称为异象投资组合（dissecting anomaly portfolios）。这些投资组合在排序后，预期收益差异非常明显。图表 1的Panel A显示了每个组合的排序结果。由线表示的预测收益是根据每只股票的回归拟合值生成的，由点表示的平均超额收益是每个投资组合的平均市值加权收益。
图表 2显示了25个排序的投资组合的汇总统计。每个投资组合的特征是投资组合中每只股票的市值加权平均数（使用月初时的股票数据）形成的。这种排序方法下，各个投资组合在平均超额收益（XRet）方面产生了很大的差异，在预测收益（ ）上的各个组合也呈现出类似的差异。所有的多元回归特征除了公司规模（JME）之外，其他指标在25个投资组合中都显示出与预期收益类似的单调增长或下降的形式，其方向与以往研究预测的一致。
“水平、斜度和曲线”因子模型（LSC）
下一步是从这些投资组合中提取公共因子。作者使用回归的预测对按预期收益从低到高排序的 25 个投资组合执行主成分分析 (PCA)。PCA 使用特征值分解来识别投资组合中的公共因子。该方法提取测试资产收益的线性组合，以解释协方差矩阵的结构。这种方法将测试资产之间的联动从协方差矩阵转换为不相关的因子。每个因子都形成为测试投资组合的一组权重。第一个因子解释了投资组合之间最大的协方差。第二个因子解释了第一个因子未捕获的下一个最大因子，依此类推。
在许多应用中，通常要么对相关矩阵进行特征值分解，要么通过标准化所有变量来重新调整协方差矩阵，因为 PCA 是量纲相关的。如果不首先转换数据，以不同单位表示的变量的分解将无法解释。由于资产定价中我们感兴趣的对象是基础资产的协方差矩阵，并且都表示为投资组合收益，因此无需先对数据进行转换即可进行PCA。
图表 3显示了主成分分析的结果。该表列出了前十个分量、各自的特征值和各自解释的方差。前三个分量解释了投资组合86%的方差，分别解释了投资组合74%、9% 和 3% 的方差。图表 1，Panel B 显示了前三个分量的权重。
第一个因子类似于一般市场投资组合，因为它对所有 25 个投资组合的权重大致相等。该因子与所有主流因子模型中使用的 CRSP 值加权市场指数的相关系数为 0.95。因为该因子代表与股票市场整体水平的联动，可以被看作是一个“水平”因子，代表不同投资组合与股市点位同向运动。
第二个因子代表做多低预期收益股票和做空高预期收益股票。这个因子在各个投资组合上的暴露从低预期收益到高预期收益的投资组合几乎单调减少。这个“斜度”因子捕捉到了这样一个特征，即高预期收益股票收益都倾向于一起移动，而低预期收益股票则会向相反的方向，一起移动。由于斜度因子是做多低预期收益股票和做空高预期收益股票，平均而言它有一个负的收益实现。
金融文献中已经确定的大多数因子都是斜度因子。HML 因子捕捉成长型股票与价值型股票相反移动的趋势，而SMB因子捕捉小市值股票与大市值股票相反移动的趋势。其他例子包括动量、盈利能力、投资、波动性和流动性都是斜度因子。
该斜度因子的不同之处在于它同时代表着上述所有特征捕获的常见运动。本文感兴趣的潜在特征是投资组合的预期收益，而不是公司层面的预期收益。虽然每个公司层面的特征都提供了一些有关预期收益的信息，但仅基于公司层面特征得到的投资组合，可能会受到与预期收益无关的大量其他共同变动影响。
最后一个“曲线”因子是做空极低和极高收益的资产，同时做多中间的投资组合。这个因子表明极端股票往往会一起移动。如果曲线因子有一个正的收益，那么预期收益非常高和非常低的股票都会有相对较低的收益，而预期收益中等的股票则会有相对较高的收益。
将图表 1的Panel B与图表 2进行比较，可以得出斜度和曲线因子的特征解释。斜度因子按照公司特征对预期收益的影响程度合并了多个公司特征，并且同时体现了多个投资组合中这些预测因子相互间的协方差。斜度因子包含了账面市值比、动量、资产增长、应计费用、净股票发行量和经营盈利能力这些公司特征，同时斜度因子在实现时将包含暴露在这些股票特征上的共同变动所带来的收益。
图表 3中曲线因子的载荷与图表 2中的市值因子变动模式接近。市值规模较小（且波动性较大）的股票更有可能出现在极端高或低预期收益投资组合中。曲线因子的特征解释是，在考虑了水平和斜度后，曲线因子代表了一个共同运动的倾向，即预期收益处于中间部分的投资组合中的市值大的、低波动的股票预期收益往往会向相同的方向共同移动，而处于极端预期收益组合中的市值小的、高波动性的股票收益则往往会向相反的方向共同移动。虽然该因子与公司规模有关，但作者将在4.2 节中说明它与文献中常用的市值因子不太相似。
因子数量的确定
主成分分析法不规定因子的数量，涉及到究竟选择使用多少个主成分来表示数据的问题。之前的研究将其概念化为一个模型选择问题，在拟合优度和简约性之间进行权衡，并开发了三个检验统计量（BIC1、BIC2 和 BIC3）。作者分别对25 个和 100 个异象投资组合计算了这些检验统计量。三个检验统计量都发现存在三个因子。
与主流因子的相关性情况
图表 5显示了水平、斜度和曲线因子与其他几个常见因子的相关性。三个提取的因子中没有一个与 HML 的相关性超过 0.35。SMB 与水平因子的相关性为 0.46，与曲线因子的相关性为 0.49，在某种程度上呼应了图表 2中特征的形状，但与斜度因子的相关性低于 0.30。斜度因子与动量的相关性为 0.77，是表中最强的相关性。盈利能力因子 RMW、ROE 和 PMU与斜度因子和曲线因子的相关性较低。投资与水平、斜度和曲线因子的相关性较低。这三个因子中没有一个与流动性表现出很大的相关性。斜度和曲线因子与这些常用模型中的因子相关但又不同。
资产定价检验
根据套利定价理论，股票投资组合所产生的超额收益将通过每个投资组合对公共因子的载荷来解释。
图表 6给出了投资组合超额收益对前一、二、三、四个主成分的时间序列回归结果。由于这些因子不相关，因此回归的贝塔系数的模式由图表 1的Panel B中所示的因子载荷所示。该表展示了25个投资组合对依次加入前一、二、三、四个主成分的模型进行时间序列回归时，每一个回归的alpha、t统计量和R平方。
在第三列中，较大的 表明超额收益的巨大差异未被第一个因子捕获。这种回归几乎与传统的CAPM相同，第四列显示第二个因子解释了alpha的很大一部分，添加斜度因子后，25个回归的平均R平方从75%上升到83%，而平均alpha从每月0.39%下降到每月0.16%。第五列显示添加曲线因子将平均R平方增加到86%，而平均alpha没有变化。第四个因子几乎没有增加额外的R平方，虽然它降低了平均alpha，但它在25个投资组合的因子载荷图像上是一个令人困惑的锯齿形图案， GRS检验显示前三个因子在5%的水平下被拒绝，而第四个因子在10%的水平下被拒绝。因此推断，“水平、斜度和曲线”三因子模型已捕获了平均收益的大部分变化，以及25个投资组合预期收益的大部分方差。
与主流模型的比较
在这一节中，作者进行了一些资产定价测试，以比较水平、斜度、曲线模型和其他主流模型的效果。目前学术上主流的资产定价模型有：Fama-French三因子模型(Fama and French,1993)：使用市场投资组合和两个多空投资组合，一个做多高市净率股票和做空低市净率股票(HML)，另一个做多小市值股票和做空大市值股票(SMB)；Fama和French四因子模型，也称为Carhart(1997)模型，增加了一个动量因子(MOM)，即做多过去12个月上涨的股票和做空过去12个月下跌的股票；Fama和French(2015a)五因子模型：排除了动量，纳入了做多低投资股票和做空高投资股票的因子(CMA)，以及做多高利润股票和做空低利润股票的因子(RMW)；在此基础上，作者添加动量因子创建出Fama和French六因子模型。此外，还有Hou等人的四因子模型，模型使用市场收益（MKT）、公司市值(SIZE)、资产投资收益率(INV)和股本收益率(ROE)作为因子衡量盈利能力。作者将与这些模型比较水平、斜度、曲线因子模型的定价效果。
对于测试资产，作者使用了119个股票和债券构成的投资组合。其中包括第4节中的由“扩展窗口异象”回归形成的10个投资组合；25个按规模和账面市值比排序构成的投资组合；10个按动量排序的投资组合；5个美国国债（1年、5年、10年、20年和30年）构成的投资组合；49个行业组合；10个基于运营盈利能力排序构成的组合；以及10个基于投资（资产增长）排序构成的投资组合。
LSC模型与Fama和French三因子模型的比较
首先，作者使用时间序列检验将水平、斜度和曲线模型与Fama和French三因子模型进行了比较。图表 7以图形方式显示了119个测试组合在各自的三因子模型上的时间序列测试结果。X轴是模型的预期收益，即每个测试资产的因子载荷乘以因子平均收益。Y轴是平均收益。定价误差(alpha)是每个绘制的测试资产与45度线的垂直距离。零alpha的完美定价会将每个测试资产放在45度线上。
右图是Fama和French三因子模型的结果，在横截面上有些混乱。左侧面板显示水平、斜度和曲线模型捕获了平均收益的分化，在横截面上非常清晰。为了更清晰的展现拟合优度，将平均收益对预期收益进行回归，考察回归的R平方（同时仍然施加时间序列限制）。Fama和French三因子模型的R平方为12%，而水平、斜度和曲线模型的R平方为56%。
图表 8到图表13分解了图表 7聚集的点，分别显示了每组投资组合下两种模型的定价比较结果。
图表 8显示了针对10 个投资组合测试时，水平、斜度、曲线模型与Fama和French三因子模型的定价误差比较，这10个投资组合是使用对七种公司特征的扩展回归排序形成的。水平、斜度和曲线模型几乎解释了各个投资组合平均收益的差异。Fama 和 French 三因子模型显示出相当大的定价误差，对一些高预期收益的投资组合只有一点点定价能力。
图表 9显示了根据市值和账面市值比排序得到的25个投资组合进行定价时，Fama和French三因子模型的初步成功。图中每个测试资产都由其排序的投资组合标记，首先根据市值分成五组（最小到最大），然后再根据账面市值比分成五组（成长到价值）。显然，小市值成长投资组合(SBM11)使两个因子模型定价失效。虽然水平、斜度和曲线模型解释了大部分平均收益，但它在极值投资组合（SBM15、SBM35）上留下了alpha值，并且对第二小的成长投资组合（SBM21）定价效果不如Fama和French三因子模型。
图表10显示了两种模型在根据动量排序的投资组合测试下的鲜明对比。水平、斜度和曲线模型基本可以解释动量带来的收益差异，然后捕获了一些略微逆转动量异象。Fama和French三因子模型的定价误差大于平均收益的差异，无法有效地解释动量带来的收益。
图表11显示了在49个行业上形成的投资组合下的两个模型定价效果的比较。虽然行业投资组合中各行业的平均收益差异较小（注意轴的比例），但水平、斜度和曲线模型的定价误差比Fama和French三因子模型小。两个模型下的平均绝对alpha值分别为15和21个基点。
图表12显示了使用期限从1年到30年不等的美国国债投资组合对两种模型进行测试时的比较结果。水平、斜度和曲线模型显示预期收益定价的差异开始与平均收益保持一致。Fama和French三因子模型几乎无法解释国债的预期收益差异。对于水平、曲线、斜率因子来说，随着到期日的增加，差异来自曲线因子的显著正载荷。这表明曲线因子反映了该因子长期持有的大市值低波动性股票，即曲线因子表现得像长期债券的特点。该证据表明，曲线因子代表与久期相关的潜在风险因子。
图表13显示了使用基于运营盈利能力排序得到的十个投资组合进行测试时两个模型效果的比较。大多数alpha实际上是由模型产生的，因为从利润最高的前百分之十投资组合到利润最低的后百分之十的平均收益的差异仅为29个基点。最低利润的股票投资组合(OP1)具有高水平和市场贝塔值这一事实导致这两种模型对其定价效果均较差。虽然它在左图中作为异常值突出显示，但其他九个投资组合的平均收益被预测的相当好。在右图中，低利润和高利润股票都混淆了Fama和French三因子模型，因此预测收益的排名几乎与平均收益的排名相反。
LSC模型与主流模型的比较
接下来，作者将进行水平、斜度和曲线模型与使用其他资产定价主流模型的比较。作者发现水平、斜度和曲线模型的性能至少与其他主流模型相当，并且通常表现得更好。图表14显示了对119个测试组合的时间序列测试结果，比较了水平、斜度和曲线模型(LSC)和样本外水平、斜度和曲线扩展窗口模型(LSC-NP)，资本资产定价模型（CAPM）、Fama和French三因子模型（FF3）、Carhart模型（CAR）、Fama和French五、六因子模型，以及Hou、Xue、Zhang四因子模型（HXZ)。第一行显示水平、斜度和曲线模型的平均绝对alpha为15个基点。CAPM的平均绝对Alpha值最高，为23个基点，其次是Fama和French（1993），为21个基点，Fama和French（2015a）为20个基点，Hou等人(2015)的模型具有18个基点。Carhart模型以及Fama和French六因子模型的表现几乎与LSC模型一样好，具有16个基点的alpha。
第二行显示在5%置信水平下显著的t统计量的数量。LSC和LSC-NP模型留下的显著alpha最少。
第三行显示时间序列回归的平均R平方。这不是对模型的测试，预期收益的正确模型不需要解释时间序列变化，但了解每个模型对时间序列变化的捕捉程度可能是有意义的。
第四行显示了时间序列检验的横截面R平方，它用作模型预期收益捕获的平均收益变化百分比的汇总统计量。它充当以上各图中以图形方式呈现的证据的汇总统计量。LSC和LSC-NP模型都解释了平均收益的最大变化，R平方分别为54%和49%。其次是Carhart模型46%和Fama和French六因子模型45%。
最后三行表示均值方差最优化（mean-variance effiency）下的投资组合的夏普，Sh-Full表示样本内结果，Sh-Split表示作者将样本分成两半，仅使用样本的前半部分计算事后最优权重，并使用样本的后半部分显示该投资组合的最终夏普比率。水平、斜度和曲线模型都优于所有Fama和French模型。Sh-Rolling表示通过每月向前滚动并使用所有先前数据重新计算最佳均值方差有效因子权重来构造组合，水平、斜度和曲线模型仍然优于Fama和French模型。令人惊讶的是，三因子、五因子和六因子模型在使用滚动窗口形成的权重时相比“Split”样本表现得更差，即使“Rolling”包含一个更大的信息集。Hou等人的模型在“Split”样本中的表现与水平、斜度和曲线模型一样好，基准和扩展窗口模型的夏普比率为0.23，但在滚动窗口测试中却一般：Hou等人模型仅提高到0.24，而水平、斜度和曲线模型分别提高到0.27和0.25。
结论
本文开发了一种提取股票收益横截面定价因子的新方法。第一步对多个预测变量使用横截面回归，将股票按高预期收益到低预期收益分类到投资组合中。第二步使用主成分从这些投资组合中提取因子。这种方法的目标是根据预期收益对投资组合进行排序，然后提取与预期收益相关的因子，分散非定价因子的风险敞口。最终的形成的因子模型是“水平、斜度和曲线”因子模型。作者测试新模型的资产定价效果，将水平、斜度和曲线模型与几个主要的主流模型进行比较，发现该模型在使用样本内和样本外测试时都表现得非常好。
文献来源：
核心内容摘选自Charles Clarke在《Journal of Financial Economics》上的论文《The level,slope,and curve factor model for stocks》。
风险提示
本文结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。