协方差矩阵

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什么是协方差矩阵？

协方差矩阵用于计算股票投资组合的标准差，投资组合经理又使用协方差矩阵来量化与特定投资组合相关的风险。在本文中，我们将学习如何为包含 n 个股票的投资组合创建为期“m”天的协方差矩阵。

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投资组合分析如何运作？

让我们了解投资组合分析的工作原理。假设我们的投资组合中有 4 只股票，我们希望为每只股票分配最佳资本，以使我们的风险最小。

为此，我们需要首先创建多个具有不同权重的投资组合，以反映对每只股票的不同资本配置，并计算每个结果投资组合的标准差，然后选择风险最低的投资组合。

**预期投资组合方差= SQRT (W T *

起源于 1901 年 Pearson 的主成分分析（PCA），通过对协方差矩阵的特征值分解或 SVD 分解，通过对特征值排序选取相应的特征向量，将高维特征映射到低维上，达到降维的目的。用于数据预处理。

1998 年，降维算法PCA首次与核方法结合，先将数据集通过核函数（Kernel Function）映射到高维空间，然后在高维特征空间中做 PCA。核 PCA 有更好的降维效果。

2000 年，始于局部线性嵌入（Locally Linear Embedding）的流形学习（Manifold Learning）引领了降维算法的新浪潮。

2008 年 ，t-SNE 作为非线性降维方法，可更好地

旧版声明

本文为旧版实现，供学习参考。

https://bigquant.com/wiki/doc/demos-ecdRvuM1TU

下面代码在新版本不能直接运行，需要修改两处，一处是数据读取，一处是画图，分别参考以下两处链接。

数据读取

[https://bigquant.com/wiki/doc/

研究结论

上篇报告我们提出的协方差矩阵谱分解近似方法可以兼顾统计模型的高效便捷和因子模型的组合优化提速，不过其中K值（保留的最大特征值数量）的设定比较偏经验，本报告通过数学推导给出了此方法近似误差上限的简洁表达式，并基于此动态调整K值，保证理论一致性，同时可以在不显著影响策略表现的条件下，实现组合优化过程的大幅提速。

压缩估计量方法是基于个股收益率在时间序列上独立同分布的假设，对近期市场变化反应迟钝。我们借鉴CCC-Garch 模型的思想，设计了一套波动率调整方案，可以让压缩估计量对近期市场变化更加敏感。用波动率调整后的风险模型可以降低策略跟踪误差和回撤。

跟踪误差惩罚项可

组合优化中，计算各资产之间的相关性，即协方差矩阵是非常关键的一步。在Sander Gerber与Harry M. Markowitz的最新论文中，提出了一种新的相关性度量指标Gerber统计量，相对传统的协方差矩阵，这个统计量的表现来的更加稳健。

如何计算Gerber statistics

假设有 个证券标的， 个时间。令 表示标的 在时间 的收益率。对于在时间 ，任意两个标的组合 ，我们将它们的收益对 根据以下公式转换为联合变量 :

也就是说，当标的 同向涨跌超过一定幅度， 为1，此时称 为concordant；逆向涨跌超过一定幅度， 为-1，此时称 为discorda